Волновая оптика
Выразим разность хода l волн, приходящих в точку Р, через угол θ между осью и направлением на точку Р и расстояние d между источниками.
Будем считать, что d<<L. Тогда при малых θ разность хода можно найти, опуская из S1 перпендикуляр на прямую S2Р: l=dθ.
Эта формула даёт возможность определить угловое положение максимумов и минимумов на экране В. направление на максимумы получим, полагая что l=nλ: θmax=nλ/d, n=0, ±1, ±2,…
Полагая, что l=(2n+1)λ/2, получим направления на минимумы: θmin=(n+1/2)λ/d, n=0, ±1, ±2,…
Угловое расстояние Δθ между соседними максимумами или минимумами, как видно из этих формул, равно λ/d, а расстояние h между ними на экране В, как видно из рис., равно h=LΔθ=λL/d
Дифракция
Характерной особенностью дифракционных явлений в оптике оказывается то, что здесь, как правило, длина волны света почти всегда много меньше размеров преград на пути световых волн. Поэтому наблюдать дифракцию света можно только на достаточно больших расстояниях от преграды. Проявление дифракции состоит в том, что распределение освещённости отличается от простой картины, предсказываемой геометрической оптикой на основе прямолинейного распространения света.
Строгий расчёт дифракционной картины представляет собой очень сложную математическую задачу. Но в некоторых практически важных случаях достаточно хорошее приближение даёт упрощённый подход, основанный на использовании принципа Гюйгенса – Френеля.
Согласно этому принципу, световая волна, возбуждаемая каким-либо источником S, может быть представлена как результат суперпозиции когерентных вторичных волн, ,,излучаемых” фиктивными источниками. Такими источниками могут служить физически бесконечно малые элементы любой замкнутой поверхности, охватывающей источник S. Обычно в качестве этой поверхности, выбирают одну из волновых поверхностей, поэтому все фиктивные источники действуют синфазно. Таким образом, волны, распространяющиеся от источника, являются результатом интерференции всех когерентных вторичных волн. Френель исключил возможность возникновения обратных вторичных волн и предложил, что если между источником и точкой наблюдения находится непрозрачный экран с отверстием, то на поверхности экрана амплитуда вторичных волн равна нулю, а в отверстии – такая же, как при отсутствии экрана.
Учёт амплитуд и фаз вторичных волн позволяет в каждом конкретном случае найти амплитуду (интенсивность) результирующей волны в любой точке пространства, т.е. определить закономерности распространения света.
Дифракция Френеля на круглом отверстии:
Сферическая волна, распространяющаяся из точечного источника S, встречает на своём пути экран с круглым отверстием. Дифракционную картину наблюдаем на экране (Э) в точке В, лежащей на линии, соединяющей S с центром отверстия. Экран параллелен плоскости отверстия и находится от него на расстоянии b. Вид дифракционной картины зависит от числа зон Френеля, укладывающихся в отверстии. Для точки В, согласно методу зон Френеля, амплитуда результирующего колебания A=A1/2±Am/2, где знак плюс соответствует нечётным т и минус – чётным т.
Когда отверстие открывает нечётное число зон Френеля, то амплитуда (интенсивность) в точке В будет больше, чем при свободном распространении волны, если чётное, то амплитуда (интенсивность) будет равна нулю. Если в отверстие укладывается одна зона Френеля, то в точке В амплитуда A=A1, т.е. вдвое больше, чем в отсутствии непрозрачного экрана с отверстием (интенсивность света больше соответственно в четыре раза). Если в отверстие укладывается две зоны Френеля, то их действия в точке В практически уничтожат друг друга из-за интерференции. Таким образом, дифракционная картина от круглого отверстия вблизи точки В будет иметь вид чередующихся тёмных и светлых колец с центрами в точке В (если т чётное, то в центре будет тёмное кольцо, если т нечётное – светлое кольцо), причём интенсивность максимумов убывает с расстоянием от центра картины.
Расчёт амплитуды результирующего колебания на внеосевых участках экрана более сложен, так как соответствующие им зоны Френеля частично перекрываются непрозрачным экраном. Если отверстие освещается не монохроматическим, а белым светом, то кольца окрашены (число зон Френеля, укладывающихся в отверстии, зависит от λ).
Дифракция Френеля на диске. Сферическая волна, распространяющаяся от точечного источника S, встречает на своём пути диск. Дифракционную картину наблюдаем на экране (Э) в точке В, лежащей на линии, соединяющей S с центром диска. В данном случае закрытый диском участок фронта волны надо исключить из рассмотрения и зоны Френеля строить начиная с краёв диска.
 |
Пусть диск закрывает т первых зон Френеля. Тогда амплитуда результирующего колебания в точке В равна
A=Am+1 – Am+2 + Am+3 -…= Am+1 /2+(Am+1 /2 – Am+2 +Am+3 /2)+…, или A=Am+1 /2, так как выражения, стоящие в скобках, равны нулю. Следовательно, в точке В всегда наблюдается интерференционный максимум (светлое пятно), соответствующий половине действия первой открытой зоны Френеля. Центральный максимум окружён концентрическими с ним тёмными и светлыми кольцами, а интенсивность максимумов убывает с расстоянием от центра картины.
Задача. Два груза D и E массами тD =0,25 кг и тЕ =3 кг лежат на гладкой плоскости, наклонной под углом α=30° к горизонту, опираясь на пружину, коэффициент жёсткости которой с=6 Н/см =600 Н/м.
В некоторый момент груз Е убирают; одновременно (t=0) нижний конец пружины В начинает совершать вдоль наклонной плоскости движение по закону ξ =0,02sin 10t (м). Найти уравнение движения груза D.