Вывод уравнения Шрёдингера
В нерелятивистской квантовой механике мы будем по-прежнему пользоваться соотношениями:
E=ħω, 
(3)
(Здесь и далее: Е – энергия объекта (кинетическая), 
-импульс, 
- волновой вектор, ħ – постоянная Планка, делённая на 2π, ħ = 1,05459∙10-34 Дж∙с, ω – частота (волн де Бройля)).
Однако собственную энергию частицы m0c2 учитывать не будем. Это значит, что, начиная с этого места, мы вводим новую частоту, отличающуюся от прежней частоты на постоянную. Для новой частоты сохраним прежнее обозначение ω. В частности, в случае свободного движения
E = р2/2m, и закон дисперсии записывается в виде
ω=(ħ/2m)∙k2 (4)
Это приводит к выражению для фазовой скорости волн де Бройля:
υф = ω/k = ħk/2m = υ/2 (5) (здесь k=2π/λ, - волновое число)
Однако это не может отразиться на физических выводах теории, так как фазовая скорость, как и сама частота ω волны де Бройля, относится к числу принципиально ненаблюдаемых величин. Существенно, что физически наблюдаемые величины - плотность вероятности Ψ*Ψ и групповая скорость (групповая скорость волн де Бройля равна скорости частицы) - при новом выборе частоты остаются неизменными. Остаются неизменными и все величины, доступные измерению на опыте.
3. Получение уравнения Шрёдингера
Основная задача волновой механики состоит в нахождении волновых функций и связанных с ними физических следствий в самых разнообразных условиях. Для ее решения служит волновое уравнение, найденное Шрёдингером в 1926 г. Это - основное уравнение квантовой механики, но оно справедливо только в нерелятивистской квантовой механике, т. е. в случае движений, медленных по сравнению со скоростью света в вакууме.
Уравнение Шрёдингера должно быть общим уравнением, т. е. должно быть пригодно для решения всех, а не только частных задач. Поэтому в него не должны входить значения параметров (например, начальные условия, конкретный вид силовых полей и пр.), выделяющие частные виды движения. В него могут входить мировые постоянные, например постоянная Планка. Могут входить массы и импульсы частиц, но их численные значения не должны быть конкретизированы. Силовые поля, в которых движется частица, также должны быть представлены в общем виде. Здесь дело обстоит так же, как с уравнениями Ньютона или Максвелла, которые приспособлены для решения всех, а не только частных механических или электродинамических задач. Кроме того, надо потребовать, чтобы уравнение Шрёдингера было линейно и однородно по Ψ. Этим будет обеспечена справедливость принципа суперпозиции волновых функций, необходимость которого диктуется интерференцией и дифракцией волн вещества.
При отыскании уравнения Шрёдингера заметим, что одним из решений его в свободном пространстве должна быть плоская волна де Бройля (1). Найдем дифференциальное уравнение, удовлетворяющее перечисленным выше условиям, решением которого является эта волна.
Дифференцирование 
(1) по x, y, z даст:
Сложением полученных вторых производных найдем:
Учитывая соотношения (3) найдём, что k2=p2/ħ2, таким образом, имеем:
(6)
Это дифференциальное уравнение, но не то, которое мы ищем. Действительно, при выводе величина p предполагалась постоянной, а потому уравнение (6) описывает конкретное движение с заданным постоянным импульсом.
Продифференцируем теперь (1) по времени при постоянной ω:
Учитывая (3), находим что 
, таким образом можно записать:
(7)
Это уравнение также не годится. Оно описывает движение частицы в свободном пространстве с постоянной кинетической энергией E. Однако, выразим из (7) энергию, а из (6) – квадрат импульса p2:
(7*)
Учтём, что в нерелятивистской механике, в отсутствии потенциальных сил, E= p2/2m. Подставив в эту формулу полученные выражения для энергии и импульса, придём к однородному линейному уравнению
(8)
Это уравнение уже не содержит никаких индивидуальных параметров, выделяющих конкретное движение. Это уравнение и есть уравнение Шрёдингера в отсутствии силовых полей.
Обобщим теперь полученное уравнение (8) на случай движений в силовых полях. Ограничимся случаем потенциальных силовых полей, которые, как и в классической механике, характеризуются потенциальной функцией или потенциальной энергией U(
). Заметим теперь, что ħ/дt имеет размерность энергии, Значит, одинаковую размерность имеют
и величины 
и U()Ψ. Поэтому прибавление в правой части уравнения (8) слагаемого U()Ψ не меняет размерности этого уравнения. Можно думать, что полученное таким путем уравнение
(9)
будет правильно учитывать влияние потенциального силового поля на движение частицы. Это и есть уравнение Шрёдингера. Это так называемое уравнение Шрёдингера, зависящее от времени. Его также называют общим уравнением Шрёдингера.
Перейти на страницу: 1 2 3 4 5 6 7 8