Теплопроводность через сферическую оболочку
. (2.31)
Учитывая, что
,
получаем искомую зависимость плотности теплового потока j от радиуса r:
, (2.32)
где C1 - это константа, определяемая формулой
. (2.33)
Физический смысл полученного результата достаточно ясен: это известный закон обратных квадратов, характерный для задач со сферической симметрией.
Теперь, так как функция j(r) известна, можно рассматривать уравнение (2.27) как дифференциальное уравнение относительно функции T(r). Решение этого уравнение и даст искомое распределение температур. Подставив в (2.27) выражение (2.32) и заданную функцию 
, получим следующее дифференциальное уравнение:
. (2.34)
Данное уравнение решается методом разделения переменных:
.
Интегрирование этого выражения даёт:
Итак, функция T(r) имеет вид:
. (2.35)
Константы C1 и C2 можно определить из граничных условий T(R1) = T1, T(R2) = T2. Подстановка этих условий в (2.35) даёт линейную систему двух уравнений с двумя неизвестными C1 и C2:
. (2.36)
Вычитая из первого уравнения второе, получим уравнение относительно C1:
,
откуда
. (2.37)
С учётом этого выражение (2.35) можно записать в виде:
. (2.38)
Теперь первое граничное условие T(R1) = T1 даёт:
, (2.39)
откуда следует выражение для константы C2:
. (2.40)
Подстановка (2.40) в (2.39) даёт окончательное выражение для искомой функции T(r):
. (2.41)
Зная функцию T(r), можно из закона Фурье
определить и окончательное выражение для плотности теплового потока j как функции от радиуса r:
. (2.42)
Интересно отметить, что распределение температур не зависит от коэффициента b, но зато плотность потока пропорциональна b.
3 Заключение
В результате проделанной работы выведено дифференциальное уравнение теплопроводности применительно к данным конкретным условиям задачи и получено решение этого уравнения в виде функции T(r). Разработана программа TSO, рассчитывающая функцию T(r) и строящая её график для различных задаваемых пользователем параметров задачи . Листинг программы приведен в Приложении А.
Список используемых источников
Нащокин В.В. Техническая термодинамика и теплопередача: Учеб. пособие для вузов. — 3-е изд., испр. и доп. — М: Высш. школа, 1980. — 469 с.
Араманович И.Г., Левин В.И. Уравнения математической физики: М.: Наука, 1969. — 288 стр.
Савельев И. В. Курс общей физики. Т. 1. Механика. Молекулярная физика: Учеб. пособие для студентов втузов. — М.: Наука, 1982. — 432с.
Зельдович Б.И., Мышкис А.Д. Элементы математической физики. — М.: Наука, 1973. — 352с.
Перейти на страницу: 1 2 3 4 5