Рефераты по Физике

Математическое моделирование физических задач на ЭВМ

Страница 4

2) системати­зирует и упрощает процесс составления уравнений;

3) дает алгоритмы формирования уравнений с помощью ЭВМ; в случае сложных цепей составление уравнений «вручную» (без ЭВМ) требует значительных затрат времени.

Рассмотрим классические методы контурных и узловых уравнений. Вначале введем понятие графа цепи, описы­вающего свойства цепи, связанные с взаимным соединением ветвей, т. е. с геометрической структурой (топологией) схемы. Применение понятия графа позволяет записывать в матричной форме уравнения соединений, составляемые на основе законов Кирхгофа, и тем самым формировать уравнения разветвленных цепей с помощью ЭВМ.

Уравнения равновесия токов и напряжений, составленные по Законам Кирхгофа, как указывалось, линейными однородными уравнениями. Важное условие, которое должно обеспечиваться, состоит в линейной независимости уравнений. Ни одно уравнение не должно быть получено линейной комбинацией остальных уравнений. Общий систематический метод получения линейно независимых уравнений цепи основан также на привлечении понятий теории линейного графа, одного разделов математической дисциплины—топологии. К линейному графу приводит следующее соображение:

Уравнения равновесия токов и напряжений, составленные по законам Кирхгофа, определяются только схемами соединений ветвей, т. е. геометрической структурой цепи, и не зависят от вида и характеристик элементов, т. е. от физического со­держания ветвей. Поэтому при составлении уравнений со­единений удобно отвлекаться от вида и характеристик ветвей цепи, заменив их линиями. В результате для цепи рис. 3.1, а, составленной из любых двухполюсных элементов, получим линейный граф, показанный на рис. 3.1, б.

Граф является системой или совокупностью двух элемен­тов—узлов (вершин), изображаемых точками, и ветвей (ре­бер), изображаемых отрезками линий, которые соединяют пары узлов. В предельном вырожденном случае граф может состоять только из одного узла.

Числа узлов и ветвей графа обозначим пy и nд. Поскольку каждому узлу и каждой ветви цепи сопоставляется узел и ветвь графа, граф цепи содержит всю информацию о соединениях и геометрических свойствах исходной цепи. На рис. 3.1, а, б соответственные узлы, а также ветви цепи и графа имеют одинаковые номера.

Граф, так же как и исходная цепь, может иметь различную структуру. Различают планарный (плоский) граф, если его можно изобразить на плоскости без пересечения ветвей (рис. 3.1,6), и не планарный (пространственный) граф, если при его изображении на плоском чертеже невозможно избежать пересечения ветвей (рис. 3.2, а). Полным назы­вают граф, у которого каждая пара узлов соединена одной ветвью. Примером полного графа цепи может служить граф рис. 3.2, а.

Любую часть графа, элементы которой являются элемен­тами исходного графа, называют подграфом. Подграф получают путем удаления (исключения) некоторых ветвей исходного графа.

Важным подграфом является путь графа, представляю­щий непрерывную последовательность ветвей, связывающую пару выбранных узлов, с прохождением каждого узла не болееодного раза. Смежные вет­ви пути имеют общий узел, так что к каждо­му узлу присоединены две ветви, лишь к край­ним узлам — по одной ветви.

На рис. 3.1, б пути, свя­зывающие узлы 1, 4, образованы ветвями 2-4, 5-6, 1, 2-3-5 и т. д. Если в заданном графе имеется хотя бы один путь между любой парой узлов, то граф называется связным—он соответствует цепи, элементы которой соединены только электрически. Граф рис. 3.1, б является примером связного графа, а рис. 3.2, б —несвяз­ного: он состоит из двух раздельных частей, элементы ко­торых могут иметь связь, например, через взаимную ин­дуктивность.

Для составления уравнений соединений по законам Кирх­гофа необходимо на всех ветвях графа стрелками указать положительные направления токов. В результате получается граф с ориентированными ветвями, называемый направлен­ным графом токов цепи (рис. 3.1, б), ветви которого явля­ются токами. Положительные полярности напряжений ветвей удобно принимать согласованными с положительными на­правлениями токов. Тогда в цепях, составленных из двух­полюсных элементов, направленный граф напряжений, реб­ра которого являются напряжениями ветвей, будет совпа­дать с графом токов. Переход к направленному графу позволяет производить аналитическую запись структуры графа и подграфов в виде таблиц – матриц, называемых топологическими матрицами. Аналитическое представ­ление графа необходимо для формирования уравнений сложной цепи с помощью ЭВМ.

Полное описание структуры направленного графа дает nуxnв - матрица соединений, nу строк ко­торой являются порядковыми номерами узлов, nв столб­цов – номерами ветвей. Элементами аi,j этой матрицы яв­ляются символы наличия или отсутствия ветви k, присое­диненной к узлу i, которые принимаются равными +1 (—1) для выходящей из узла (входящей) ветви и 0, если ветвь не связана с узлом.

Для того чтобы записать матрицу соединений, достаточно для каждой ветви определить номера обоих соединяемых узлов i, j и заполнить клеточки на пересечениях строк i, j и столбца с номером ветви k значениями +1, — 1; в остальных клеточках должны быть проставлены нули. Для графа рис. 3.1,б получим полную матрицу соединений:

(3.1)

Так как каждая ветвь соединяет два узла—выходит из одного узла и входит в другой, то столбец матрицы состоит из двух ненулевых элементов +1, —1 (их сумма равна нулю), так что достаточно заполнить таблицу для ny-1 узлов, которая является редуцированной матрицей соединений А. Эту незави­симую матрицу можно получить из полной матрицы Аa вычеркиванием строки, соответствующей выбранному базисно­му узлу.

Приняв в качестве базисного узел 4 и соответственно вычеркивая четвертую строку в (3.1), получим редуцированную матрицу соединений:

Перейти на страницу:  1  2  3  4  5  6  7