Расщепление энергетических уровней атома водорода в электрическом поле
m = 1,2,3,…, k, … (67.2) Это ¾ уравнение для невозмущенной системы Н . Пусть нас интересует, как меняется уровень Е и собственная функция j под действием возмущения W. Тогда из решений (67.2) мы берем k-е:
(67.3) т.е. все с =0, кроме с =1.
Решение (67.3) мы будем называть решением в нулевом приближении. Это решение мы подставляем в уравнение (67.1) с тем, чтобы найти следующее, первое приближение. Подстановка дает
(67.4) где через 0(l ) обозначены члены порядка l и выше. Ограничиваясь первым приближением, мы должны считать эти члены малыми и отбросить их. Тогда получаем
(67.4') Если мы возьмем из этих уравнений уравнение номера m = k, то получим
(67.4'') Отсюда находим поправку к Е первого приближения:
(67.5) Из уравнений c m = k находим поправки к амплитудам c , именно, если m = k, то (67.4') дает
(67.4''') Отсюда
(67.6) Найдем теперь второе приближение; для этого следует учесть члены с l . Подставим первое приближение (67.5) и (67.6) в (67.1), тогда
(67.7) где через 0(l ) обозначены члены порядка l и выше. Пренебрегая этими членами, получим уравнения для определения Е и c (второе приближение). При этом уравнение номера m = k получается в виде
(67.7') Отсюда находим поправку к энергии во втором приближении:
(67.8) Из уравнений с m = k найдем c :
(67.9)
Эту процедуру можно продолжать и дальше, переходя ко все более и более высоким приближениям. Мы ограничимся вторым приближением и выпишем результат. Согласно (66.14), (66.15) и (67.3), (67.5), (67.6), (67.8) и (67.9) имеем
(67.10)
(67.11)
Из этих формул видно, что предположение о малости оператора W в сравнении с Н означает малость отношения
(67.12) при выполнении этого условия поправочные члены в (67.10) и (67.11) малы, и собственные значения Е оператора H и его собственные функции с (k) близки к собственным значениям и собственным функциям оператора Н . Условия (67.12) ¾ это условие применимости теории возмущений. На основании (66.10) это условие может быть записано также в виде
(67.13) где W суть матричные элементы оператора возмущения.
Пользуясь (66.4) и (67.6), а также (67.5), мы можем написать наше решение в "х"-представлении:
(67.14)
(67.15) Из последней формулы видно, что поправка к уровням в первом приближении равна среднему значению энергии возмущения в невозмущенном состоянии (j ).
Из условия пригодности метода теории возмущения (67.13) непосредственно видно, что успех приближенного расчета зависит от того, какой именно квантовый уровень мы рассчитываем. Так, например, в кулоновском поле разности энергий соседних уровней выражаются формулой При малых n эта величина может быть гораздо больше W . Для больших же n она стремится к нулю, как 1/n , и условие (67.13) может оказаться несоблюденным. Поэтому метод теории возмущений может быть пригодным для расчета поправок нижних квантовых уровней и непригодным для расчета поправок для высоких квантовых уровней. Это обстоятельство нельзя не иметь в виду при приложении теории возмущений к конкретным проблемам.
Второе, что следует отметить, ¾ это некоторые особые случаи, когда условие (67.13) соблюдено и тем не менее квантовые состояния систем H и H радикально отличаются. Дело в том, что энергия возмущения W может оказаться такого вида, что существенно изменит асимптотическое поведение потенциальной энергии U(x). Допустим, что к гармоническому осциллятору приложено возмущение W = lx . Уравнение Шредингера в этом случае имеет вид
(67.16)
При l=0 мы имеем уравнение для гармонического осциллятора, имеющего дискретный спектр энергии E = (n + ). Матричные элементы возмущения
W = l (x ) при малом l могут быть как угодно малы в сравнении с E ¾ E = (m ¾ n). Тем не менее при всяком l уравнение (67.16) имеет непрерывный спектр, и только при l=0 оно имеет дискретный спектр собственных значений. Действительно, потенциальная энергия U(x) = + lx имеет вид, приведенный на рис. 50. При всяком значении Е для больших отрицательных x, U(x) < E, т.е. асимптотическое значение потенциальной энергии меньше Е. Поэтому энергетический спектр должен быть непрерывным.
Спрашивается, какой смысл имеют в этом случае приближенные функции j (x) и уровни Е , которые мы может вычислить из j и Е методом теории возмущения, пользуясь малостью параметра l? Оказывается, что при малых l найденные методом теории возмущения функции j (х) отличаются тем, что они велики вблизи потенциальной ямы U (x) и малы вне ее. На рис. 51 повторена кривая потенциальной энергии U (x) (см. рис. 1) и, кроме того, нанесен квадрат модуля волновой функции j (x) . Рис. 51, а соответствует случаю, когда E = E E . Если же энергия E не равна E , то волновая функция j (x) нарастает вдали от потенциальной ямы U (x) (см. рис.51, б). В первом случае мы можем сказать, что частицы находятся около положения равновесия x = 0, так сказать, "в атоме", а во втором случае они находятся преимущественно вне его, бесконечно далеко. Стационарность состояний может получиться лишь в том случае, если существуют волны, как уходящие в бесконечность, так и приходящие из нее, так что поток частиц через поверхность, окружающую атом, равен нулю. Такой случай представляется малоинтересным. Чаще приходится иметь дело со случаем, когда имеются лишь уходящие волны. Тогда стационарных состояние не существует вовсе. Если требовать, чтобы имелись лишь уходящие волны, то находимые методом теории возмущения функции j (x) описывают поведение частиц лишь в течение не очень большого времени t. Однако на самом деле это время может быть очень велико, и оно тем больше, чем меньше значение параметра l. Такого рода состояния j (x) и соответствующие им уровни Е мы будет называть квазистационарными.
 |
Перейти на страницу: 1 2 3 4 5