Расщепление энергетических уровней атома водорода в электрическом поле
Возмущение при наличии вырождения
В большинстве важных в приложениях задач приходится встречаться со случаем вырождения, когда в невозмущенной системе (H ) собственному значению E = E принадлежит не одно состояние j , а несколько j , j …, j …., j . Если теперь действует некоторое возмущение W, то без специального исследования нельзя сказать, какая из функций j будет являться нулевым приближением к собственным функциям оператора H = Y + W. В самом деле, вместо ряда функций j …, j …., j , принадлежащих собственному значению E , могут быть взяты функции j , j …, j …., j , получающиеся из первых линейным ортогональным преобразованием:
(68.1)
(68.2) Функции j , будучи линейными комбинациями функций j , будут также решением уравнения Шредингера
(68.3) принадлежащим собственному значению E , и при добавочном условии (68.2) будут ортогональными, если функции j ортогональны. Функции j суть поэтому также возможные функции нулевого приближения, но неизвестно, какие коэффициенты a следует взять, чтобы получить правильное нулевое приближение.
Для решения этого вопроса обратимся к уравнению (66.9). Нам, однако, следует теперь его несколько модифицировать, уточнив обозначения. При наличии вырождения собственные функции оператора имеют по крайней мере два индекса (n, a). Поэтому в этом случае (66.4) следует написать подробнее, заменяя индекс n на два: n, a. Тогда мы получим
(68.4) Соответственно этому уравнение (66.9) получится (заменяя n на n, a, m на m, b) в виде
(68.5) где
(68.6) есть матричный элемент энергии возмущения и получается из (66.7) увеличением числа квантовых чисел, нумерующих состояния. E есть энергия m-го квантового уровня для невозмущенной задачи. Эта энергия от квантового числа a не зависит (вырождение).
Допустим, что мы теперь желаем найти квантовый уровень возмущенной системы E , близкий к E , и соответствующие собственный функции j (x). Ограничимся решением этой задачи в первом приближении для уровней и в нулевом приближении для функций.
В отсутствии вырождения мы полагали для функций нулевого приближения, что они просто совпадают с невозмущенными. Соответственно этому в нулевом приближении c = 1, а остальные равны 0. Этого нельзя сделать при наличии вырождения, ибо, отбрасывая в нулевом приближении возмущение W, мы получим из (68.5) это дает c = 0 для E = E , но при это не одно c , а все принадлежащие собственному значению E , именно, c для b = 1, 2, …, . Таким образом, в нулевом приближении не одна амплитуда, а целая группа отлична от нуля. Поэтому правильным нулевым приближением для функций k-го уровня будет
(68.7) В этом приближении мы возьмем из уравнений (68.5) те, которые содержат не равные нулю c . Это будут уравнения
(68.8) Поскольку мы ограничиваемся нулевым приближением к k-му уровню, мы можем опустить индекс k (держа его просто в уме), положив при этом
(68.9)
(68.9') Тогда уравнения (68.8) запишутся в виде
(68.10) У E мы сохранили индекс k, чтобы подчеркнуть все же, что речь идет о группе из f состояния, принадлежащих уровню E .
Для того чтобы уравнения (68.10) имели отличные от нуля решения, необходимо, чтобы определитель системы (68.10) обращался в нуль, т.е.
Это ¾ алгебраическое уравнение степени f для определения Е. Часто оно называется вековым[2] уравнением. Из него мы получим f корней:
(68.12) Так как матричные элементы W предполагаются малыми, то эти корни будут близки между собой. Следовательно, мы получает важный результат: при наложении возмущения вырожденный уровень (E ) распадается на ряд близких уровней (68.12). Вырождение снимается. Если некоторые из корней (68.12) равны, то вырождение снимается лишь частью.
Для каждого из корней E (68.12) мы получим свое решение для амплитуд c из уравнения (68.10). Чтобы отметить, что решение c , c , …, c . …, c принадлежит уровню E , мы введем в c еще один индекс a так, что решение уравнений (68.10) для E запишется в виде
(68.13) Если бы мы еще удержали индекс k, то полная нумерация для c была бы c . Уравнение (68.13) есть приближенная (в нулевом приближении) волновая функция оператора Н в "Е° "-представлении. В "х"-представлении решение (68.13) запишется в виде
(68.13') Таким образом, каждому уровню E = E принадлежит теперь своя функция j , которая и является функцией нулевого приближения для возмущенной системы (H).
Отличие функций (68.13') от функций (68.1) состоит в том, что в (68.1) коэффициенты a произвольны (вплоть до условия ортогональности (68.2)), а коэффициенты c в (68.13) определены. Следовательно, функции нулевого приближения j представляют собой частный случай функций невозмущенной задачи j . Заметим, что если вычислить следующие приближения, то нетрудно убедиться, что условием пригодности метода теории возмущения будет опять-таки (67.13), которое теперь для вырожденного случая будет иметь вид
(68.14)
В #41 было показано, что задача нахождения собственных значений и собственных функций любого оператора L, заданного в матричной форме, сводится к решению уравнение (41.4) и (41.5). Понимания в (41.4) под оператором L оператор полной энергии H, мы должны учитывать, что в случае вырождения вместо каждого из индексов n и m в этой формуле теперь фигурирует по два индекса n, a, и m, b соответственно. В результате из (41.4) получаем уравнения
(68.15) которые совпадают с (68.5), так как
(68.16) Уравнение (41.5), соответствующее системе (41.4), в нашем случае запишется несколько сложнее (по форме), так как строки и столбцы матрица оператора Н нумеруются двумя квантовыми числами n и a. Именно, при каждом n имеется f разных значений a (f -кратное вырождение). Число f возрастает с увеличением n. Для первого уровня f = 1 термин "вырождение" не применяется.
Расположить элементы H в матрицу не представляет труда. Так, можно нумеровать какой-нибудь столбец парой (1), а следующие столбцы номерами (n, 2), (n, 3), …, (n, f ) затем пойдет столбцы с номерами (n + 1, 1) (n + 1, 2), …, до (n + 1, f )и т.д. Подобным же образом нумеруем строки (m, 1), (m, 2),…, (m, f ) и т.д. При такой же нумерации элементов матрицы H уравнение для определения собственных значений E может быть написано в следующем виде (это и есть уравнение (41.5) для нашего случая):
 |
Перейти на страницу: 1 2 3 4 5