Система уравнений Максвелла в сплошной среде. Граничные условия
Используя теорему Стокса, получим:
Перепишем это уравнение в виде:
(20)
Здесь 
и 
- значения вектора 
соответственно в средах 1 и 2, 
- единичный вектор, касательный к поверхности раздела, 
- нормаль к поверхности раздела, направленная из среды 2 в среду 1.
Пусть теперь 
при малом, но фиксированном l. Тогда 
, 
и соотношение (20) примет вид:
и после сокращения на l имеем:
здесь 
. Вектор , как следует из рисунка 2, можно записать как в виде 
. Тогда
предыдущее выражение можно записать, как
.
Поскольку эта формула справедлива для любой ориентации поверхности , а следовательно, и
вектора 
, то имеем
(21)
В граничном условии (21) присутствует поверхностная плотность тока, избыточная по отношению к токам намагничивания. Если токи отсутствуют, то следует положить 
=0. Учитывая, что 
, а 
есть поверхностная плотность тока намагничивания, запишем формулу (21) в виде:
где 
.
Используя уравнение (1) и проводя аналогичные рассуждения, получаем граничные условия для вектора 
:
(22)
Таким образом, уравнения Максвелла (1) - (4) должны быть дополнены граничными условиями (18), (19), (21) и (22). Эти условия означают непрерывность тангенциальных составляющих вектора (22) и нормальной составляющей вектора 
(19) при переходе через границу раздела двух сред. Нормальная составляющая вектора 
при переходе через границу раздела испытывает скачок, тангенциальная составляющая вектора , если имеются поверхностные токи (21).
Ещё одно граничное условие можно получить, используя уравнение непрерывности (
0) и уравнение (4), из которых следует:
Так как граничное условие (19) является следствием уравнения (2), то по аналогии находим:
(23)
Если же на поверхности раздела нет зарядов, поверхностная плотность которых зависит от времени, то из (18) и (23) следует непрерывность нормальных составляющих плотности тока:
.
Итак, граничные условия на поверхности раздела двух сред имеют вид:
; 
(24)
; 
где - нормаль к границе раздела, направленная из среды 2 в среду 1, и должны выполняться в любой момент времени и в каждой точке поверхности раздела.
3. Уравнения Максвелла в системе уравнений магнитостатики и электростатики
Так как на практике почти всегда приходится решать уравнения Максвелла (1) – (4) в кусочно-непрерывных средах, то граничные условия (24) следует рассматривать как неотъёмлемую часть уравнений Максвелла (1) – (4).
В случае стационарных электрических и магнитных полей (
и
) система уравнений Максвелла (1) – (4) распадается на систему
уравнений электростатики:
, 
, 
(25)
и уравнений магнитостатики:
, 
, 
, (26)
а граничные условия остаются те же.
4. Пример
В качестве примера решения электростатических задач можно вычислить электрическое поле, создаваемое диэлектрическим шаром радиуса R, находящемся в однородном электрическом поле 
. Уравнения электростатики в диэлектрике (25) при 
=0 имеют вид:
Перейти на страницу: 1 2 3 4 5 6 7 8