Вынужденные колебания. Амплитудно-частотные и фазово-частотные характеристики
Здесь 
– это время разгорания колебаний.
Это значит, что через достаточно большой промежуток времени первым слагаемым можно пренебречь. Действительно в (6) при 
,
. Таким образом
|
| (7) |
, где 
- амплитуда установившихся колебаний с частотой 
- частотой внешней вынуждающей силы, 
- сдвиг фаз между смещением и фазой внешней силы.
Найдем, чему равны и при частоте внешней силы 
. Для этого найдем 1-ю и 2-ю производные от (7):
|
|
(8) |
|
|
(9) |
И подставим (7), (8), (9) в (4):
,
немного преобразуем:
и получим:
Данное уравнение будет справедливо при любом 
, если коэффициенты при 
и 
будут равны нулю:
Из этой системы найдем зависимость амплитуды установившихся колебаний и сдвига фаз от частоты внешней вынуждающей силы:
|
|
(10) |
|
|
(11) |
Исследуем выражение (11) на экстремумы. Очевидно, что амплитуда колебаний будет максимальной в том случае, если подкоренное выражение в (11) будет минимальным. Обозначим 
. Запишем условие экстремума подкоренного выражения:
Таким образом, подкоренное выражение (и, соответственно, амплитуда колебаний) принимает экстремальное значение при:
|
|
(12) |
|
|
(13) |
Если производная 
, при подстановке корня (12) и (13) будет положительна, то в этом случае подкоренное выражение будет минимальным, а амплитуда – максимальной. Вторая производная от подкоренного выражения равна:
Значение этой производной при 
равно 
а при 
, равно 
. Учитывая, что в колебательных системах, как правило, 
, видим, что максимуму амплитуды соответствует частота вынуждающей силы .
Явление резкого увеличения амплитуды вынужденных колебаний при определённой частоте вынуждающей силы называется резонансом.
Таким образом, резонансная частота равна
|
|
(14) |
Учитывая это значение, по (10) и (11) находим резонансные значения сдвига фаз и амплитуды колебаний:
|
|
(15) |
|
|
(16) |
Из (15) и (16) видно, что при отсутствии трения (
) амплитуда колебаний при резонансе неограниченно возрастает, а сдвиг фаз между смещением и фазой вынуждающей силой равен 
.
Для вынужденных колебаний вводят, так называемые, амплитудо-частотные (зависимость амплитуды колебаний от частоты вынуждающей силы) и фазово-частотные (зависимость сдвига фаз от частоты вынуждающей силы) характеристики. Графически эти зависимости при различных значениях 
приведены на рисунках 5 и 6:
|
|
|
|
Рис.5 Амплитудно-частотные характеристики |
Рис.6 Фазово-частотные характеристики |
