Упругий и неупругий удар двух однородных шаров
В этом случае задача о нецентральном столкновении шаров решается достаточно просто. Действительно, соединяя центры масс сталкивающихся шаров прямой и разложив скорость каждого шара на нормальную составляющую, направленную вдоль линии центров, и тангенциальную составляющую, перпендикулярную к ней. Так как согласно нашему предположению силы трения отсутствуют, то тангенциальные силы во время столкновения не возникают и, следовательно, тангенциальные скорости шаров изменяться не будут. Нормальные же составляющие скорости после удара можно определить на основании закона сохранения количества движения и закона сохранения энергии таким же путем, как и при центральном ударе.
Запишем уравнения:
m1 v1ц + m2 v2ц = m1ц v' 1ц + m2 v'2ц
m1 ( v21п + v21ц ) + m2 (v22п + v22ц) = m1 ( v'21п + v21ц ) + m2 (v'22п + v22ц
здесь неизвестны только две величины: v'1ц и v'2ц.
Общие закономерности нецентрального удара шаров в этом случае можно найти следующим путем. Предположим, что до удара шар 2 покоится, а шар 1 движется. Сила взаимодействия в момент удара проходит через центры шаров (нет трения), и ее направление зависит от "прицельного" расстояния δ, равного расстоянию центра покоящегося шара от линии полета центра другого шара (до удара). Плоскость чертежа совпадает с плоскостью, проходящей через центры шаров и вектор скорости шара 1.
F
2
r2
 |
δ
r1
 | |||
 | |||
Р
1
 |
F'
Удар произойдет при условии δ < r1 + r2, где r1 и r2 – радиусы шаров. Угол θ зависит от δ и r1 + r2. Составляющая количества движения шара 1 (ударяющего), нормальная к F (сила взаимодействия), остается неизменной. Составляющие количеств движения шаров по направлению силы F изменяются в соответствии с законами центрального удара.
По закону постоянства количества движения:
P = P1 + P2
где P – количество движения шара 1 до удара, P1 и P2 – количества движения шаров 1 и 2 после удара соответственно.
P2
P1
θ
P
Закон сохранения энергии можно записать так:
P2/m1 = P21/m1 + P22/m2
Так как P = m v и mv2 = P2 / m для любого тела.
Вектор P2 составляет угол θ с вектором P , покоившийся шар отскочит под углом θ к начальной скорости первого шара, тогда из треугольника векторов следует:
P21 = P22 + P2 - 2 P P2 cos θ
Учитывая постоянство энергии, исключаем P1 и получаем
P2 = 2 m2 P cos θ / (m1 + m2) = β P cos θ
β = 2 m2 / (m1 + m2)
Отсюда видно, что общее соотношение между Р2 и Р зависит от угла θ и соотношения масс m1/m2.
Следует различать два случая: m1 > m2 и m1 < m2. В первом случае β < 1, тяжелый шар ударяет легкий. Конец вектора Р2 описывает окружность диаметром βР. Оба шара после удара летят в сторону начального движения первого шара. Величина угла θ изменяется от 0 до π/2. Угол отклонения первого шара может изменяться от 0 до некоторого φмакс Одному значению φ соответствуют два значения θ.
β < 1
Р2
Р1
А
В Р
φ
βР
 |
Точка В представляет центральный удар, оба шара летят после удара по одному направлению. Точка А представляет промах (шары не задели друг друга).
Во втором случае, при m1 < m2, легкий шар ударяет тяжелый. Здесь β > 1 и шар 1 после удара может лететь назад. Угол отклонения налетающего шара φ изменяется от 0 до π.
 |
Перейти на страницу: 1 2 3 4 5