Упругий и неупругий удар двух однородных шаров
А В
βР
 |
Точка В представляет центральный удар. Каждому значению φ соответствует только одно значение θ.
При одинаковых массах шаров m1 = m2 картина возможных количеств движения показана на рисунке.
 |
Р2
 |
А В
φ
Угол φ изменяется от 0 до π/2. При центральном ударе шар 1 останавливается, а шар 2 с той же скоростью движется далее (точка В). Угол разлета шаров θ + φ всегда равен π/2.
Угол θ нетрудно связать с прицельным расстоянием δ и показать, что
(r1 + r2)sin θ = δ
Зная δ, диаметры шаров и их массы, найдем θ и β, по данным Р определим Р2 и Р1, которые в свою очередь определяют скорости и направления шаров после удара.
4. Неупругое соударение тел
Абсолютно неупругим называют такой удар, после которого скорости обоих соударяющихся тел оказываются одинаковыми. Чтобы это стало возможным, соударяющиеся тела должны обладать такими свойствами, что силы, возникающие при их деформации, зависят не от величины деформации, а от скорости изменения деформации. Такие свойства присущи, например, мягкой глине, пластилину. При неупругом соударении происходит следующее. В начальный момент удара скорость деформации велика (шары сжимаются), поэтому возникают значительные силы, сообщающие обоим шарам ускорения, направленные в противоположные стороны. По мере развития удара скорости деформации шаров уменьшаются, а сами деформации увеличиваются до тех пор, пока скорости шаров не окажутся равными. В этот момент деформации шаров перестанут изменяться, исчезнут силы, и оба шара будут двигаться с одинаковой скоростью. При абсолютно неупругом ударе выполняются законы сохранения импульса и полной энергии. Механическая же энергия тел до удара больше механической энергии после удара, так как она частично (или полностью) переходит во внутреннюю энергию тел и расходуется на работу по деформации тел. Для определения скорости тел после взаимодействия рассмотрим удар двух шаров (материальных точек), образующих замкнутую систему. Массы шаров m1 и m2, скорости до удара V1i и V2i. Согласно закону сохранения суммарный импульс шаров до удара должен быть таким же, как после удара:
m1 V1i + m2 V2i = (m1 + m2) U
где U - скорость после удара, одинаковая для обоих шаров. Из уравнения следует, что:
U = ( m1 V1i + m2 V2i ) / (m1 + m2)
Закон сохранения энергии для неупругого удара рассматриваемых шаров имеет следующий вид:
m1 V1i2 / 2 + m2 V2i2 / 2 = (m1 + m2 ) U2 + W
где W - изменение внутренней энергии системы.
Кинетическая энергия тел до удара имеет следующую величину:
W1 = m1 V1i2 / 2 + m2 V2i2 / 2
А кинетическая энергия после удара:
W2 = (m1 + m2 ) U2/2 = ( m1 V1i + m2 V2i )2 /2 (m1 + m2)
Потери механической энергии, или часть энергии, которая перешла в тепловую форму составляет:
W = W1 - W2 = m1 m2 (V1i – V2i)2 / 2 (m1 + m2 )
Величина V1i – V2i представляет относительную скорость движения тел до удара. Поэтому энергия, перешедшая в тепло, зависит от соотношения масс соударяющихся тел m1 m2 /(m1 + m2 ) и относительной скорости движения их до удара.
Энергию потерь можно рассматривать как кинетическую энергию некоторой эффективной массы:
m0 = m1 m2 / (m1 + m2)
движущихся с относительной скоростью V'i =V1i – V2i.
Для конкретных расчетов скорости нужно спроектировать соотношение импульсов на выбранные направления. Если до удара скорости шаров направлены вдоль прямой, проходящей через их центры, удар называют центральным. Скорость шаров после такого удара будет направлена по той же прямой. Поэтому уравнение сохранения импульсов можно рассматривать как скалярное. Но скорости при этом надо считать совпадающими по знаку, когда они направлены в одну сторону и противоположными по знаку, когда они направлены в противоположные стороны. Рассмотрим некоторые частные случаи.
1. Шары движутся в одном направлении. Удар возможен, если скорости V1iиV2i различны. Например, V2i > V1i, т.е. второй шар догоняет первый. После удара шары будут двигаться в ту же сторону со скоростью большей, чем скорость первого шара и меньшей, чем скорость второго. Если при этом массы шаров одинаковы, то
U =( V1i + V2i ) / 2
2. Шары движутся навстречу друг другу. После удара шары будут двигаться вместе в ту сторону, в которую двигался шар, обладающий большим импульсом. Если импульсы обоих шаров равны по величине, то после удара оба шара остановятся.
3. В случае нецентрального удара (рис.3.6.2а) скорости V1iиV2i можно разложить на составляющие V1Xи V2X в направлении линии, соединяющей центры шаров (ось Х), и состaвляющие V1Y и V2Y в перпендикулярном направлении (ось У). Для составляющих V1X , V2X и V1Y ,V2Y записать закон сохранения импульса в том же виде, как и при центральном ударе и определить составляющую результирующей скорости.
Перейти на страницу: 1 2 3 4 5