Функции распределении и уравнение Лиувилля
Функции распределении и уравнение Лиувилля.
Плазмой обычно называют систему, состоящую из N частиц, из которых, по крайней мере, часть обладает электрическим зарядомом. В наиболее общем случае плазма состоит из положительных и отрицательных ионов, свободных электронов и нейтральных молекул, находящихся п различных возбужденных состояниях. Безусловно, такие системы являются очень сложными вследствие разнообразных процессов, протекающих в них.
Далее рассмотрим упрощенную модель—плазму, состоящую из смеси только заряженных частиц. Предположим, что всего имеется s сортов частиц; индексом
 |
 |
Электрические свойства частиц сорта характеризуются зарядом , а динамические — массой . Обозначив через положение j-й частицы сорта , а через ее импульс, гамильтониан для такой системы можно записать следую-щим образом:
 |
(1)
где
(2)
Гамильтониан (1) описывает полностью ионизованную плазму, которую можно рассматривать как предельное состояние в том смысле, в каком идеальный газ является предельным состоянием реального газа. Однако для вычислении даже этот гамильтониан является весьма сложным. Эта сложность связана главным образом с громоздкостью записи: наличие нескольких сортов частиц обязательно приводит к очень громоздким выражениям, в которых каждая буква снабжена большим числом верхних и нижних индексов. Такие трудности обычно не являются принципиальными и их можно обойти путем выбора еще более простои модели, рассматривающей плазму как однокомпонентный газ заряженных частиц. Однако, чтобы быть ближе к действительности, мы должны в этом случае предположить, что заряженные частицы двигаются через среду, которая обладает противоположным зарядом и полностью нейтрализует полный заряд газа . Гамильтониан такой системы можно записать в виде:
 |
(3)
Этот гамильтониан описывает систему частиц, взаимодействующих по закону центральных парных сил с потенциалом , где е2—квадрат заряда (валентность частиц для простоты считается равной единице). При этом потенциальная энергия взаимодействия имеет вид:
 |
(4)
Заметим, что рассмотрения, проводимые в данной курсовой, не ограничиваются только случаем плазмы, а могут быть применены к любой системе, гамильтониан которой записывается в виде (3). В общем случае параметр е2 не имеет уже смысла электрического заряда; он является просто некоторой величиной, характеризующей силу взаимодействия. Однако оказывается удобным сохранить обозначение е2 также и в общем случае.
Следует отметить, что гамильтонианы (1) и (3) описывают газ (или плазму) в отсутствие каких-либо внешних полей. В этой части книги мы будем касаться только таких простых систем. Формальное распространение теории на случай наличия внешних полей обычно осуществляется весьма просто.
Гамильтониан (1) или (3) содержит полное динамическое описание плазмы. Из него можно вывести точные динамические уравнения движения:
 |
(5)
Однако, даже если бы мы попытались решать эти уравнения, нам пришлось бы отказаться от этой мысли с самого начала. В нашем распоряжении имеется система 6N нелинейных дифференциальных уравнений, где N — величина порядка . Следует ясно понимать, что трудности связаны не только с громоздкостью вычи-слений. Даже если бы мы могли представить себе вычислительную машину, которая смогла бы решить уравнения (5), то это решение было бы абсолютно бесполезным. Действительно,чтобы придать смысл уравнениям (5), мы должны дополнить их набором из 6N начальных условий. Одновременно измерить положения и импульсы 1023 частиц или создать такую систему, в которой положения и импульсы, всех частиц имели бы заранее установленные значения,— это абсолютно невероятно для человеческих возможностей. Поэтому точное формальное решение (5) было бы бесполезным при исследовании любых физических процессов.