Функции распределении и уравнение Лиувилля
Таким образом, нам нужно ввести такое понятие, которое бы возможно ближе соответствовало макроскопическим фактам. Таким понятием является понятие ансамбля, введенное Гиббсом. Вместо рассмотрения одной-единственной системы мы будем исследовать набор систем, которые динамически идентичны (т. о. имеют один и тот же гамильтониан), но отличаются друг от друга начальными условиями. Естественной системой координат для описания таких систем является пространство 6N-измерснии, называемое фазовым пространством, координатами в котором являются положения и импульсы 6N частиц. Такой системе в заданном состоянии движения будет соответствовать точка в фазовом пространстве. Динамическое поведение системы представляется движением этой точки вдоль траектории в фазовом пространстве. Следовательно, ансамблю, представляющему реальную систему, соответствует «облако» точек в фазовом пространстве, которые обычно считаются непрерывно распределенными. Математическое описание ансамбля дается функцией, соответствующей плотности «облака» в каждой точке фазового пространства:
 |
Эту функцию назовем N-частичной функцией распределения. Здесь следует, может быть, подчеркнуть, что это описание движения отличается от описания, основанного на гамильтониане (5). Координаты хi и импульсы рi теперь являются независимыми переменными и уже не считаются функциями времени; поведение системы характеризуется изменением во времени плотности в данной точке фазового пространства .
В дальнейшем нам часто будет необходима более простая запись этой функции, или вообще любой функции F,зависящей от N импульсов и N координат. Мы будем постоянно пользоваться следующей записью:
 |
В тех случаях, когда не могут возникнуть недоразумения, для обозначения совокупности всех импульсов от pi до pN мы будем использовать букву р.
Согласно хорошо известной в классической механике [1] теоремы Лиувилля, «облако», соответствующее ансамблю, движется как несжимаемая жидкость и, следовательно, удовлетворяет уравнению непрерывности в фазовом пространстве:
 |
или, используя уравнения Гамильтона (5),
 |
(6)
Второй член в этом уравнении представляет собой скобки Пуассона и определяется соотношением:
 |
(7)
Подставляя гамильтониан для однокомпонентного газа (3) в уравнение (6), получаем следующее уравнение Лиувилля:
 |
(8)
где vj = pj/m. Заметим, что в то время как в гамильтоновом формализме естественными переменными являются импульсы рj, в формулах, связывающих микроскопические величины с макроскопическими,более удобными оказываются скорости vj . Поэтому в дальнейшем всюду мы будем пользоваться переменными vjвместо рj. Если отсутствует магнитное поле и релятивистскими эффектами можно пренебречь, эта замена является тривиальной. N-частичная функция распределения считается функцией координат, скоростей и времени:
 |
Соответствующая замена переменных произведена непосредственно в уравнении (8). В дальнейшем мы всегда будем пользоваться следующими сокращенными обозначениями:
(9)
Уравнение Лиувилля в этих обозначениях записывается в виде:
 |
(10)
Из уравнения (10) следует, что интеграл от функции fN по всем координатам и скоростям является постоянным во времени. Поэтому функцию fN можно нормировать следующим образом:
 |
(11)
После такого формального введения уравнения Лиувилля мы должны дать физическую интерпретацию понятия ансамбля. Среди авторов, обсуждавших эту проблему в литературе, до сих пор имеются некоторые разногласия, в особенности эти разногласия касаются известной эргодической теоремы [2]. Мы не хотим здесь вдаваться в подробности этой весьма бесплодной дискуссии, тем более что недавно были высказаны некоторые сомнения в применимости этой теоремы к реальным физическим системам [З]. Мы будем считать, что для макроскопического наблюдателя невозможно по одному измерению получить сведения о системе, первоначальное состояние которой определено «макроскопически» (мы ниже вернемся еще к понятию «макроскопическое определение»). Единственное, что можно предсказать, это средний результат на основе большого числа измерений, полученных для одной и той же макроскопической системы. Предположим, что это среднее значение имеет вес, равный функции распределения fN . Эта функция для момента времени t=0 должна быть построена так, чтобы она согласовывалась с имеющейся макроскопической информацией о системе. Однако вследствие большого числа частиц в системе результат любого измерения будет очень близок к среднему значению измеряемой величины для ансамбля (ошибка приблизительно порядка N-1). Последнее утверждение никогда не доказывается, но является вполне естественным.