Колебания витка с током
В физике часто применяется другой метод, который отличается от метода вращающегося вектора амплитуды лишь по форме. В этом методе колеблющуюся величину представляют комплексным числом. Согласно формуле Эйлера, для комплексных чисел
(7)
где 
- мнимая единица. Поэтому уравнение гармонического колебания (1) можно записать в комплексной форме:
(8)
вещественная часть выражения (8)
представляет собой гармоническое колебание. Обозначение Re вещественной части опускают и записывают в виде
В теории колебаний принимается, что колеблющаяся величина s равна вещественной части комплексного выражения, стоящего в этом равенстве справа.
2. Колебания витка с током в магнитном поле
Рассмотрим замкнутый проводящий контур, по которому течёт ток I, помещённый в однородное магнитное поле 
. Поле , в зависимости от его ориентации по отношению к контуру по разному воздействует на контур. Для простоты рассмотрим плоский контур в виде рамки, изображённый на рисунке 3. Результаты, в целом, будут справедливы для контура произвольной формы.
a I
I 0
α
b
Рисунок 3. Замкнутый проводящий контур.
Силы ампера, действующие на разные участки контура, будут перпендикулярны одновременно и направлению вектора, и сторонам рамки. При этом на стороны а рамки будут действовать силы в плоскости рамки, стремящиеся сжать либо растянуть рамку. На стороны же b будут действовать противоположные силы под углом α к плоскости рамки, которые будут стремиться привести её во вращение. Эти последние две силы образуют пару сил, которая создаёт вращательный момент рамки.
Плечо силы , действующей на каждую из сторон b, равно 
, сила 
, следовательно, полный момент пары сил равен:
, (9)
где S=ab- площадь рамки.
Из рисунка 3 видно, что момент направлен вдоль оси вращения. Поэтому выражение для момента можно записать в векторной форме:
. (10)
Таким образом, однородное магнитное поле создаёт вектор момента сил, направленный перпендикулярно вектору и нормали n плоскости контура. Как видно из полученного выражения, момент силы не зависит от координат выбранной точки, а определяется только площадью контура.
Величина 
называется магнитным моментом тока, протекающего по контуру. Направление 
совпадает с направлением нормали к контуру. Таким образом, всякий ток, протекающий по замкнутому контуру, можно характеризовать вектором магнитного момента (рис. 4).
S
I
Рисунок 4. Вектор магнитного момента.
В терминах магнитного момента вращательный момент контура можно записать в виде:
. (11)
Отсюда видно, что составляющая магнитной индукции 
, нормальная к плоскости контура, не вносит вклад во вращательный момент, 
.
Максимальный момент контура с электрическим током играет такую же роль по отношению к внешнему магнитному полю, что и электрический дипольный момент по отношению к электрическому полю.
Из (11) видно, что величина N будет минимальна (равна нулю) при параллельной 
, т.е. когда направление поля перпендикулярно плоскости рамки. Таким образом, магнитное поле заставляет контур с электрическим током поворачиваться до тех пор, пока направление нормали к плоскости контура не совпадёт с направлением 
, причём равновесие будет устойчивым при 
.
3. Численное решение задачи.
Рассмотрим следующую задачу. Тонкий провод в виде кольца массой m=0,003кг. свободно подвешен на неупругой нити в однородном магнитном поле индукции B=0,00665Тл. По кольцу течёт ток силой I=2А. Найти период Т малых крутильных колебаний контура и составить уравнение колебаний контура.