Лазеры на свободных электронах
Отметим, что уровень полной энергии маятника определяется как начальной фазой j0, так и расстройкой w-w0. В приближении слабого сигнала
|
|
(26) |
где учтено, что время прохождения электроном ондулятора длины L равно L/c, т. е. при E®0 наш аналог маятника совершает не колебательное, а вращательное движение относительно некоторого положения равновесия, совершая полные обороты с круговой частотой (w-w0)/2g2. Это означает, что в приближении слабого сигнала уравнение (25) может решаться методом итераций по отношению к слагаемому 
.
Не загромождая изложение протяженными выкладками, отметим, что в нулевом порядке излучаемая энергия (24) равна нулю. В отсутствие поля электромагнитной волны нет ни излучения, ни поглощения. В следующем, первом, приближении излучаемая энергия оказывается пропорциональной cosj0, или sinj0. Но в электронных ускорителях высокой энергии электронный пучок состоит, как уже отмечалось, из электронных сгустков (электронных пакетов) конечной длительности с продольным размером, обычно не меньшим 1 мм, что существенно превышает длину волны света. Следовательно, излучаемая энергия должна быть усреднена по начальной фазе j0.
В результате такого усреднения в первом порядке по Е излучаемая энергия обращается в нуль. Только во втором порядке итераций уравнение (25) дает отличную от нуля среднюю скорость изменения фазы, что с помощью (24) позволяет определить среднюю энергию, излучаемую электроном за один проход 
. Эта величина естественным образом связана со значением коэффициента усиления излучения за один проход по мощности 1 + G, а именно:
|
|
(27) |
где Ne– электронная плотность. В результате довольно громоздких выкладок получается выражение
|
|
(28) |
где введены обозначения 
, 
– чиело периодов ондулятора, L – его длина.
Коэффициент усиления G пропорционален производной от спектральной интенсивности спонтанного излучения , что прекрасно иллюстрируется представленным на рис. 3 результатами измерения этих величин.
Рис. 3. Спектр спонтанного ондуляторного излучения (a) и спектральная зависимость коэффициента усиления в Лсэ (б)
Фактор
определяет дисперсионную зависимость G(w). Усиление возможно (G>0) при u<0 или w<w0. Максимальный коэффициент усиления достигается при |u|=1. Это условие определяет ширину полосы усиления:
|
|
(29) |
обусловленную конечной длиной ондулятора 
и являющуюся аналогом обычной однородной ширины линии. Подчеркнем, однако, что формула (28) получена для моноэнергетического пучка электронов. В реальных условиях дело обстоит не всегда так, и если разброс электронов по энергиям в пучке 
достаточно велик, то возникает неоднородное уширение, которое может оказаться более существенным, чем однородное.
При выполнении неравенства 
неоднородное уширение превышает однородное и формулу (28) необходимо усреднить по функции распределения электронов по энергиям f(W). В случае сильного неоднородного уширения фактор 
можно аппроксимировать дельта-функцией: 
. Тогда после усреднения по W получаем
|
|
(30) |
Здесь введено обозначение 
и принято, что функцияраспределения f(W) нормирована условием 
, в силу чего 
. Максимальный коэффициент усиления достигается при
, 
где 
– средняя энергия электронов в пучке. Отсюда следует, что ширина полосы усиления в этом случае равна
|
|
(31) |
Формула (30), справедливая при , допускает наиболее прямую аналогию с лазерами, основанными на переходах между дискретными уровнями атомов или молекул. В самом деле, условие отрицательности поглощения (G>0) выполняется, если 
. Это означает, что усиление осуществляется электронами, соответствующими возрастающему крылу функции распределения, и наоборот, поглощению отвечает ниспадающее крыло распределения электронов по энергии. Другими словами, усиление наблюдается при условии, что число электронов с большей энергией в окрестности W0 больше числа электронов с меньшей энергией. А это есть не что иное, как условие инверсии населенности уровней применительно к системе с непрерывным спектром. При неоднородном уширении () условием отрицательного поглощения является обычное условие инверсии населенностей в окрестности энергии W0 определяемой частотой w и периодом ондулятора 
.
Перейти на страницу: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11