Методы расчета электрических полей (конспект лекций)
.
Можно также показать, что в этом случае потенциал на самой поверхности и внутри неё будет постоянным, а также будет равна нулю тангенциальная составляющая напряженности электрического поля на поверхности
. Отсюда вытекает, что
будет эквипотенциальной поверхностью, а поле будет совпадать с полем проводника такой же формы. Следовательно, с помощью простых слоёв зарядов можно создавать поля, идентичные полям реальных проводников.
3.3.2. Расчет электростатического поля проводников методом интегральных уравнений.
Рассмотрим некоторое тело, ограниченное поверхностью , к которому приложен потенциал
(рис. 3.4). Задача состоит в том, чтобы определить такое распределение поверхностной плотности заряда
на поверхности
, которое обеспечило бы равенство потенциала на ней значению
.
Рис. 3.4. К расчету электростатического поля методом интегральных уравнений.
Пусть точки A и B – произвольные точки поверхности , тогда для точки B согласно принципу суперпозиции имеем
, (3.10)
где – расстояние между точками A и B.
Уравнение (3.10) представляет собой интегральное уравнение Фредгольма I рода относительно неизвестной функции . В результате его решения определяется распределение поверхностной плотности заряда по поверхности
. Если оно известно, то любые параметры электрического поля определяются по принципу суперпозиции. Так значения потенциала
и проекций
вектора напряженности электрического поля
на координатные оси в произвольной точке M, лежащей вне поверхности
определяются как
(3.11)
где – косинусы углов между вектором
и направляющими углами координатных осей.
3.3.3. Численная реализация метода интегральных уравнений.
Простейшим вариантом численного решения уравнения (3.10) является следующий метод. Нанесём на поверхность (рис. 3.5) некоторую сетку и в каждой её ячейке выберем расчётную точку (на рис. 3.5 расчетные точки обозначены квадратиками). Примем, что внутри каждой ячейки поверхностная плотность заряда постоянна. Тогда уравнение (3.10) можно переписать в следующем виде:
. (3.12)
Рис. 3.5. К численному расчету электростатического поля методом интегральных уравнений.
Замена интеграла по поверхности в уравнении (3.10) на сумму интегралов по элементам поверхности
в (3.12) приводит к замене интегрального уравнения системой линейных алгебраических уравнений с неизвестными
. В (3.12) через n обозначено число ячеек сетки на поверхности
. Коэффициенты
системы уравнений (3.12) определяются выражением
. (3.13)
При и подынтегральное выражение в (3.13) конечно. Если
, то выражение
имеет особенность Однако это выражение является интегрируемым. Выделим вблизи расчетной точки
диск малого радиуса
. Тогда, учитывая, что в данном случае
, соответствующий интеграл по этому диску записывается в виде
.
Таким образом, определяемые выражением (3.13) коэффициенты конечны как при
, так и при
.
Перейти на страницу: 1 2 3 4 5