Теория поля
ВВЕДЕНИЕ
Геофизические методы поисков и разведки полезных ископаемых основаны на изучении различных естественных или искусственно созданных физических полей. Полем называют область пространства, каждой точке которого соответствует определенное значение некоторой физической величины. Теория поля устанавливает и исследует связи между величинами, характеризующими поле. Учитывая их при обработке результатов наблюдений, инженер-геофизик имеет возможность обоснованно применять те или иные математические приемы и решать конкретные разведочные задачи.
1. ОСНОВЫ ВЕКТОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
1.1. Основные сведения о скалярных и векторных величинах. Понятие скалярной и векторной величины. Линейная зависимость векторов. Разложение вектора по базису. Скалярное и векторное произведения. Произведения трех векторов. Основные правила матричной алгебры. Переменные векторы. Производная и дифференциал векторных функций. Интеграл от векторных функций.
- Что такое «поле» и что изучает «теория поля»?
- Поле – область пространства, каждой точке которого соответствует определенное значение некоторой физической величины. По своему характеру физические величины могут быть скалярными или векторными. Соответственно поля этих величин также являются скалярными или векторными.
Теория поля устанавливает и исследует связи между величинами, характеризующими поле.
- Приведите примеры скалярных и векторных геофизических величин. В чем состоит их отличие?
- Такие величины, как плотность, удельное сопротивление пород, потенциал гравитационного и магнитного полей и др., определяются числом, при соответствующем выборе единицы измерения. В математике такие величины называются скалярными. Если физическое явление характеризуется скалярной величиной, то имеет место скалярное поле. Такие величины, как сила притяжения материальных тел, напряженность магнитного и электрического полей и многие другие, являются векторными величинами.
Вектор – величина, которая для своего определения требует указания на направление в пространстве и численное значение, геометрически он изображается прямолинейным отрезком определенного направления. Длина отрезка в выбранном масштабе характеризует численное значение вектора. Действия над скалярами подчиняются действиям над алгебраическими величинами.
Численное значение вектора называется величиной, модулем или длиной вектора (/А/ = А – модуль вектора). Принято различать вектора свободные, связанные и скользящие.
- Как записать вектор, используя его проекции в прямоугольной системе координат?
- Пусть имеется вектор 
и ось S. Спроектировав вектор на ось, получим проекцию вектора а на ось S, т.е.
аs – проекция вектора а на ось S.
Проекция аs является скаляром и иначе называется алгебраической проекцией.
Обозначим 
единичный вектор или орт оси S. Он указывает направление оси. Произведение проекции вектора на единичный вектор называется компонентой вектора на эту ось:
Компонента вектора является вектором и иначе называется геометрической проекцией вектора. Орты осей прямоугольных координат обозначаются i, j, k. Выразим вектор в правой системе прямоугольных координат через его проекции.
Для этого сложим компоненты вектора а по координатным осям и в результате получим сам вектор а:
- Что такое радиус-вектор? Запишите его через проекции.
- Радиус-вектор точки. Точка в пространстве может быть задана своими координатами или же вектором, начало которого совпадает с началом системы координат, а конец с данной точкой. Этот вектор и носит название радиуса-вектора точки.
- Напишите скалярное и векторное произведение векторов через их проекции.
- Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению их модулей на косинус угла между векторами
В зависимости от угла (
) скалярное произведение может быть положительной (угол 
острый) или отрицательной (угол тупой) величиной. Скалярное произведение записывается и таким образом
или 
,
где АВ – проекция вектора А на направление вектора В, т.е. АВ=АCOS
Аналогично ВА – проекция вектора В на вектор А, т.е. 
Скалярное произведение ортов прямоугольной системы координат:
Выражение скалярного произведения векторов через их проекции имеет вид:
Проекцию вектора на координатную ось можно рассматривать как число, полученное в результате скалярного произведения единичного вектора оси на вектор 
Векторным произведением двух векторов 
и 
является вектор 
, направленный перпендикулярно к плоскости векторов и в ту сторону, чтобы вращение вектора к вектору вокруг вектора по кратчайшему пути происходило против часовой стрелки (в правой системе координат) и по часовой стрелке (в левой системе координат). Модуль вектора 
равен площади параллелограмма, построенного на векторах и .
Перейти на страницу: 1 2 3 4 5 6 7 8