Исследование явления дисперсии электромагнитных волн в диэлектриках
Введение.
Важнейшей характеристикой линейной распределенной системы является закон дисперсии, который связывает волновое число и частоту монохроматической волны. Он может быть записан как 
, 
или в неявной форме 
.
Когда плоская волна описывается одним (вообще говоря, интегродифференциальным) уравнением, закон дисперсии получают, отыскивая его решение в виде 
. В простейшем случае процесс распространения волны описывается уравнением
.
При этом волновое число связано с частотой линейной зависимостью 
, или 
, где скорость распространения волны 
есть постоянная величина. Однако уже при учете диссипативных процессов поведение волны описывается более сложными уравнениями. Закон дисперсии 
также усложняется. Для звуковых волн в вязкой теплопроводящей среде и электромагнитных волн в среде с проводимостью справедливы следующие соотношения между волновым числом и частотой:
.
В более общих случаях от частоты могут сложным образом зависеть действительная и мнимая части волнового числа:
.
Действительная часть характеризует зависимость от частоты фазовой скорости распространения волны 
, а мнимая часть — зависимость коэффициента затухания волны от частоты.
Во многих случаях волновой процесс удобно описывать не одним уравнением типа волнового, а системой связанных интегродифференциальных уравнений 
. Здесь 
— матричный оператор, действующий на вектор-столбец 
.В качестве , например, для акустических волн может служить совокупность переменных 
(колебательная скорость, приращения плотности, давления, температуры), а для электромагнитных волн — компоненты векторов напряженностей электрического и магнитного полей, электрического смещения и магнитной индукции. В этом случае формальная схема отыскания закона дисперсии такова. Ищем решение системы в виде 
:
,
Решение будет нетривиальным, только если 
. Отсюда получаются искомые зависимости 
. Наличие у дисперсионного уравнения нескольких корней 
означает, что система может описывать несколько типов собственных волн (мод) среды.
Частотная дисперсия приводит к изменению закономерностей распространения немонохроматических волн. Действительно, различные спектральные компоненты обладают в диспергирующей среде отличающимися скоростями и коэффициентами затухания:
.
В силу дисперсии фазовой скорости в процессе распространения изменяются фазовые соотношения между спектральными компонентами. Следовательно, изменяется результат их интерференции: форма немонохроматической волны искажается. Дисперсия коэффициента поглощения 
приводит к трансформации частотного спектра волны 
и дополнительному искажению формы импульса.
§1. Материальные уравнения электромагнитного поля в среде с дисперсией.
Дисперсионные эффекты часто проявляются при распространении электромагнитных волн. Покажем, как видоизменяются исходные уравнения при учете этих свойств. Система уравнений Максвелла сохраняет свой вид. Свойства среды должны быть учтены в материальных уравнениях:
.
Для статических и медленно изменяющихся полей можно написать
,
где 
— константы, т. е. значения 
и 
в некоторой точке среды и в некоторый момент времени определяются значениями 
и 
в той же точке и в тот же момент времени.
При быстром изменении поля вследствие инерции внутренних движений и наличия пространственной микроструктуры среды наблюдается зависимость поляризации от поля, действующего в других точках и в другие моменты времени. При этом нужно иметь в виду, что в силу условия причинности поляризация и, следовательно, индукция зависят от полей, действовавших только в предыдущие моменты времени.
Сказанное можно записать математически, представляя материальные уравнения в общей интегральной форме:
, (1.1)
, (1.2)
. (1.3)
Перейти на страницу: 1 2 3 4 5 6