История изучения капиллярных и поверхностных сил
Если r — плотность числа молекул в обоих телах, то вертикальная составляющая силы взаимодействия двух элементов объема равна
(2)
Полная сила притяжения, приходящаяся на единицу площади (положительная величина), есть
(3)
Пусть u(s) — потенциал межмолекулярной силы:
(4)
(5)
Рис. 1.
Интегрируя по частям еще раз, получаем
(6)
Внутреннее давление Лапласа K есть сила притяжения на единицу площади между двумя плоскими поверхностями при их контакте, т.е. F(0):
(7)
где 
— элемент объема, который можно записать как 
. Поскольку u(r) по предположению всюду отрицательно или равно нулю, то K положительно. Лаплас полагал, что K велико по сравнению с атмосферным давлением, но первую реалистическую численную оценку предстояло сделать Юнгу.
Приведенный выше вывод основан на неявном допущении, что молекулы распределены равномерно с плотностью r, т.е. жидкость не обладает различимой структурой в шкале размеров, соизмеримых с радиусом действия сил d. Без этого предположения нельзя было бы написать выражения (2) и (3) в такой простой форме, а надо было бы выяснить, как присутствие молекулы в первом элементе объема влияет на вероятность наличия молекулы во втором.
Натяжение на единицу длины вдоль произвольной линии на поверхности жидкости должно быть равным (в соответствующей системе единиц) работе, затраченной на создание единицы площади свободной поверхности. Это следует из опыта по растяжению пленки жидкости (рис. 2).
Рис. 2.
На проволочной рамке держится жидкая пленка, прикрепленная правым краем к свободно перемещаемой проволочке. Сила F, необходимая для уравновешивания натяжения в двусторонней пленке, пропорциональна длине L. Пусть F = 2sL. Смещение проволочки на расстояние x требует работы Fsdx = sdA, где dA — увеличение площади. Таким образом, натяжение на единицу длины на отдельной поверхности, или поверхностное натяжение s, численно равно поверхностной энергии на единицу площади.
Величина этой работы может быть сразу получена из выражения (6) для F(l). Если взять два полубесконечных тела в контакте и развести их на расстояние, превышающее радиус действия межмолекулярных сил, работа на единицу площади будет определяться как
(8)
При разделении образуются две свободные поверхности, и потому затраченную работу можно приравнять удвоенной поверхностной энергии на единицу площади, которая равна поверхностному натяжению:
(9)
Таким образом, K есть интеграл от межмолекулярного потенциала, или его нулевой момент, а H — его первый момент. В то время как K недоступно прямому эксперименту, H может быть найдено, если мы сможем измерить поверхностное натяжение.
Пусть — плотность когезионной энергии в некоторой точке жидкости или газа, т.е. отношение dU/dV где dU — внутренняя энергия малого объема V жидкости или газа, содержащего эту точку. Для молекулярной модели принимаем
(10)
где r — расстояние от рассматриваемой точки. Рэлей отождествлял лапласовское K с разностью этого потенциала 2 между точкой на плоской поверхности жидкости (значение 2S) и точкой внутри (значение 2I). На поверхности интегрирование в (10) ограничено полусферой радиуса d, а во внутренней области проводится по всей сфере. Следовательно, S есть половина I, или
(11)
Рассмотрим теперь каплю радиуса R. Расчет fI не изменяется, но при получении fS интегрирование теперь проводится по более ограниченному объему из-за кривизны поверхности. Если — угол между вектором 
и фиксированным радиусом 
, то
(12)
Тогда внутреннее давление в капле есть
(13)
где H определяется уравнением (9). Если бы мы взяли не сферическую каплю, а порцию жидкости с поверхностью, определяемой двумя главными радиусами кривизны R1 и R2 , то получили бы внутренне давление в виде
(14)
По теореме Эйлера сумма 
равна сумме обратных радиусов кривизны поверхности вдоль любых двух ортогональных касательных.
Так как K и H положительны и R положительно для выпуклой поверхности, то из (13) следует, что внутреннее давление в капле выше, чем в жидкости с плоской поверхностью. Наоборот, внутреннее давление в жидкости, ограниченной вогнутой сферической поверхностью ниже, чем в жидкости с плоской поверхностью, поскольку R в этом случае отрицательно.
Эти результаты составляют основу теории капиллярности Лапласа. Уравнение для разности давлений 
(давление жидкости внутри сферической капли радиуса R) и 
(давление газа снаружи) теперь называют уравнением Лапласа:
Перейти на страницу: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10