Тунельные и барьерные эффекты
Для того чтобы в этом убедиться, мы рассмотрим совсем простой случай барьера, изображенный на рис. 2. Именно, мы будем считать, что потенциальная энергия частицы U (х) всюду равна нулю, кроме области 0 ≤ Х ≤ l, где она имеет постоянное значение, равное Um. Такой барьер представляет собой, конечно, идеализацию, но на нем, особенно просто можно проследить интересующие нас стороны проблемы. Мы можем себе представить, что такой прямоугольный барьер возникает путем непрерывной деформации плавного барьера, изображенного на рис. 1.
Будем искать стационарные состояния частицы, движущейся в поле такого барьера. Обозначая потенциальную энергию через U (х), мы получим уравнение Щредингера в виде
|
|
(3) Обозначая в дальнейшем дифференцирование по х штрихом и вводя оптические обозначения
(4)
где п (х) — показатель преломления, мы перепишем уравнение (3) в виде
(5)
Уравнение (94.5) распадается на три уравнения для трех областей пространства:
(5'), (5"), (5'")
Решения в этих областях могут быть записаны сразу:
(96.6)
(6), (6'), (6")
где А, В, α, β, a и b — произвольные постоянные. Однако это — общие решения трех независимых уравнений (5), (5'), (5") и они, вообще говоря, не образуют какой-либо одной волновой функции, описывающей состояние частицы, движущейся в силовом поле U (х). Для того чтобы они давали действительно одну функцию ψ (х), мы должны соблюсти краевые условия, которые мы сейчас установим.
Для этого будем рассматривать U (х) и, следовательно, п (х) как плавную функцию х. Интегрируя тогда уравнение (5) около точки х = 0, получим
Отсюда
(7 (7)
Переходя к пределу
получаем краевое условие
(7')
Далее, согласно общему требованию о непрерывности волновых функций, имеем второе краевое условие
(7")
Точка х = 0 ничем не выделена, поэтому условия (7') и (7") должны быть соблюдены в любой точке, в частности, и при х = 1.
Чтобы решение (6) трех уравнений (5) можно было рассматривать как предел решения одного уравнения при переходе от плавного изменения U (х) к скачкообразному, нужно, чтобы эти решения в точках х = 0 и х = 1 удовлетворяли краевым условиям (7') и (7"), т. е.
(8)
Подставляя сюда значение функций из (6), получаем
(9)
Мы имеем четыре уравнения для шести постоянных. Произвол в выборе постоянных объясняется тем, что могут быть волны, падающие на барьер слева, а могут быть — падающие на него справа.
Если мы, например, возьмем А, В≠0, b = 0, то Aeik0X может рассматриваться как падающая волна, Be-ik0X —как отраженная, аe-ik0X — как проходящая. Если бы мы взяли b ≠ 0, то это означало бы, что есть еще падающая волна с другой стороны барьера. Эти возможности соответствуют в классической механике случаям движения частиц к барьеру слева, либо справа.
Мы рассмотрим для определенности случай падения частиц слева. Тогда, мы должны взять b = 0. Кроме того, без всяких ограничений мы можем принять амплитуду падающей волны за единицу: А=1. Уравнения (9) принимают тогда вид ' '
(10)
Из этих алгебраических уравнений находим α, β, В и a:)
(11 ), (12), (13), (14)
Если энергия частицы Е больше высоты барьера Um, то показатель преломления пт действителен. В этом случае интенсивность отраженной волны | В| 2 равна
|
|
а интенсивность проходящей волны
(15)
Вычислим по формуле для плотности тока поток частиц в падающей волне, (JQ), отраженной (Jr) и проходящей (Jd ). Получаем:
(16)
Отношение потока отраженных частиц к потоку падающих
(17)
называют коэффициентом отражения. Отношение потока проходящих частиц к потоку падающих
(18)
называют коэффициентом прозрачности барьера.
Из закона сохранения числа частиц (уравнение непрерывности для тока) следует, что
(19)
(приведенные выше выражения для R и D позволяют непосредственно убедиться в справедливости этого равенства).
По классической механике, если E>Um, должно иметь место R=0, D=1 барьер совершенно прозрачен. Из (15) следует, что | В| 2 ≠0 поэтому в квантовой механике R > О, D < 1. Частицы частью отражаются так же, как отражаются световые волны на границе двух сред.
Перейти на страницу: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11