Тунельные и барьерные эффекты
Из условия конечности ψ в нуле следует, что
(99.15)
Кроме того, условие излучения дает b = 0 (только уходящие волны). Краевые условия на границах r = r 1 и r = r 2, как мы установили в § 1,сводятся к равенству функций и их первых производных
(99.16) (99.16’) (99.17) (99.17')
На этот раз мы имеем четыре однородных уравнения для четырех коэффициентов A, α, β, а. Поэтому необходимо, чтобы определитель ∆ системы уравнений (4.16) и (4.17) обращался в нуль. Несложные вычисления дают
(4.18)
где l означает ширину барьера r2 - r 1 (4.18) есть трансцендентное уравнение для k. Определим его корни приближенно, считая ql » l. Тогда в нулевом 'приближении можно отбросить член с e -gl, и мы получаем
(4.19)
Это — точное уравнение для нахождения собственных значений потенциальной ямы (0, r1, Um), изображенной на рис. 4.2 и получаемой из потенциального барьера рис. 4.2 при r2 = ∞. В такой потенциальной яме имеются дискретные уровни энергии (для E<.Um). Если корни уравнения (4.19) обозначить через k01, kO2,… kn,…, то энергия этих уровней будет (согласно (4.13)) равна
(99.20)
Корни действительны, если λ = 0, и по порядку величины равны
. В этом случае мы имеем стационарные состояния. При конечной ширине барьера асимптотическое поведение потенциальной энергии таково, что U(r)r→∞ < Е, и вместо дискретного спектра (4.20) мы получаем непрерывный. Однако условие излучения выбирает из непрерывного спектра уровни, близкие к Еоп, но они не будут теперь стационарными ( λп ≠ 0). При малых λп они будут почти стационарными. Это — квазистационарные уровни. Определим величину λп, считая ее малой. Для этого разложим член с eql в (4.18) по степеням ∆k = k — ko, где k0 — один из корней уравнения (4.19), для стационарных состояний потенциальной ямы, а в член с e-gl подставим k = k0; замечая, что
получим
Отсюда находим ∆k
При этом малую поправку к действительной части k0 мы также можем опустить, как не представляющую интереса. Мнимая же часть будет равна .
' (99.21)
Пренебрегая также малой поправкой к действительной части , k в (4.13), мы можем положить 
. Из (4.13) получаем
. (4.22)
Сравнивая это с предыдущим выражением для ∆k, мы находим
(4.23)
Имея в виду, что 
есть скорость частицы v0 внутри барьера и что k0 ≈ 1/r1 = 1/r0 (ro радиус ямы), мы получаем из (4.23) И (4.13)
(4.24)
Эта формула имеет простое наглядное толкование. 
есть число ударов частицы о внутреннюю стенку барьера в 1 сек, а экспоненциальный множитель есть коэффициент прозрачности.
Отметим еще некоторые особенности рассмотренной задачи. Мнимое значение волнового вектора к приводит к тому, что интенсивность излучаемой волны 
неограниченно растет по мере удаления от потенциального барьера
.
Рост ψ111 вытекает из требования, чтобы имелось только, излучение, и отвечает тому факту, что на больших расстояниях находятся частицы, вылетевшие раньше, еще тогда, когда интенсивность | ψ1 |2 внутри самого барьера была больше. Однако в нашем методе решения мы не учли того обстоятельства, что излучение на самом деле когда-то началось (а не длилось все время от t=∞) и что к моменту начала излучения | ψ1 |2 было конечно. Поэтому наш вывод о том, что ψ111 > ∞ при r → ∞, вывод, относящийся к частицам, вылетевшим очень давно, неверен, и само найденное, решение справедливо; лишь для небольших r, именно для 
Отметим, что в связи с формулой (4.7) в литературе часто говорят о мнимой энергии. Следует иметь в виду, что такое выражение имеет лишь чисто формальный смысл. Найденное вами состояние
не есть стационарное состояние с определенным значением энергии (стационарные состояния гармонически зависят от времени).
Чтобы определить вероятность найти то или иное значение энергии Е в этом состоянии, нужно разложить ψ (г, t) по собственным функциям ψE (r) оператора
. Так как U (r) > 0, то собственные значения этого оператора образуют непрерывный спектр 0 ≤ E < +∞ ; Если положить
(4. 26)
то w (Е) dE'= | С (Е) |2 dE дает искомую вероятность. Однако мы не можем воспользоваться для вычисления С (Е) функцией ψ (r, t) (4.25), так как она правильна лишь для не очень больших r. Поэтому мы изберем обходный путь, именно, будем считать, что ψ(г, t) имеет корректное поведение в бесконечности, а начальная функций ψ (г, 0) отлична от нуля заметным образом лишь внутри барьера, так что вид функции ψ (г, 0) соответствует тому факту, что при t = 0 частица находится во внутренней области барьера. Определим амплитуду a (t)-, с которой представлено состояние ψ (r, 0) в состоянии ψ (r, t). Имеем
Перейти на страницу: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11