Тунельные и барьерные эффекты
где хх и х2 — координаты точек поворота. Первая точка поворота есть (рис. 1), очевидно, х1 = 0, так как для всякой энергии Ех < С горизонтальная прямая Ех, изображающая значение энергии движения по ОХ, пересекает кривую потенциальной энергии в точке х = 0. Вторая точка поворота х2 получится, как видно из чертежа, при
отсюда
следовательно,
(3.2)
Введем переменную интегрирования.
Тогда мы получим
(3.3)
Таким образом, коэффициент прозрачности D для электронов, обладающих энергией движения по оси ОХ, равной Ех, равен
(3.4)
Коэффициент этот несколько различен для разных Ех, но так как С > ЕХ, то средний (по энергиям электронов) коэффициент прозрачности будет иметь вид
(3.5)
где 
и ع0 — константы, зависящие от рода металлов. Ток холодной эмиссии будет равен
Эта зависимость тока от поля вполне подтверждается экспериментами.
§4. Трехмерный потенциальный барьер. Квазнстационарные состояния.
Рассмотрение задачи о прохождении через потенциальный барьер, отличалось той особенностью, что речь шла о потоке частиц, приходящих из бесконечности и встречающих на своем пути потенциальный барьер. В дальнейшем (теория радиоактивного распада, автоионизация атомов) нам встретятся такие случаи, когда речь будет идти о потоке частиц, выходящих из некоторой ограниченной области пространства (ядро атома, атом), окруженной, потенциальным барьером. Пусть сфера с центром в 0 и радиусом r0 (рис. 1,а)
Рис.4.1. Потенциальный барьер, ограничивающий замкнутую область (r < r0)
Есть та поверхность, на которой потенциальная энергия U (r) принимает максимальное значение, так что для r < r0, U < Um и для r > r0, U < Um. Соответствующий пример графика U(г) дан на рис. 1, б. Допустим, что нас интересует прохождение через барьер частиц, первоначально находившихся внутри него. Соответственно предположению, что частицы, падающие извне, отсутствуют (нет «бомбардировки»), мы должны взять вне барьера лишь уходящие волны.
(4.1)
Это условие мы будем называть условием излучения. Ясно, что уравнение Шредингера
(4.2)
в этом случае может иметь лишь нестационарные решения. Действительно, применим закон сохранения числа частиц к сфере радиуса r:
(4.3)
Из (4.1) имеем,
(4.4)
и, стало быть,
(4.5)
т. е. среднее число частиц в объеме сферы V убывает, так что ψ не может гармонически зависеть от времени.
Задачу об истечении частиц из барьера можно решать, исходя из уравнения (4.2) с начальным условием. таким, что функция ψ (r, 0) отлична от нуля лишь внутри барьера (чтобы выразить тот факт; что при t = 0 частица находилась внутри барьера). Можно, однако, исходить из другого условия, до некоторой степени противоположного, именно считать, что истечение частиц происходит уже давно и значительная часть их уже находится вне барьера.
Рис 4.2 Потенциальный барьер, ограничивающий замкнутую область (r < r1) и имеющий простую прямоугольную форму.
Такой подход к решению мы рассмотрим подробнее. Он удобен тем, что допускает разделе r и t в уравнении (4.2) Положим сразу
При этом величина Е будет комплексной, и ее нельзя рассматривать как энергию частиц. Положим
(4.7)
Тогда среднее число частиц в объеме V0, заключенном внутри барьера, согласно (4.6) и (4.7), будет
т. е.
(4.8)
Величина λ - константа распада. Подстановка (46) в (4.2) дает
(99.9)
Чтобы выяснить принципиальную сторону дела, мы рассмотрим схематичный пример, взяв форму барьера U (r), изображенную на рис. 4.1. Рассмотрим далее, для простоты, состояния с орбитальным моментом, равным нулю: / = 0. Тогда, полагая
(4.10)
мы получим из (4.9)
(99.11)
Согласно нашему предположению о виде U (г) уравнение (99.11) разобьется на три;
(99.12) (99.12")(99.12'):
где:
(99.13):
Решения этих уравнений имеют вид
(99.14) (99.14') (99.14")
Перейти на страницу: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11