Хаос необратимость времени и брюссельская
Между тем, именно поведение систем на конечных временах является центральной математической проблемой необратимости. Нужна обобщённая спектральная теория, включающая в спектр такие диссипативные свойства, как времена жизни, времена релаксации и т.д. (Брюссельская школа как раз и предлагает такое комплексное спектральное представление для неустойчивых динамических систем – об этом сказано в следующих разделах данной работы) .
После возражений Лошмидта для описания различия между "больцмановскими" и "антибольцмановскими" начальными состояниями была предпринята попытка воспользоваться корреляциями в скоростях частиц, возникающими в результате межчастичных столкновений. Последовательные столкновения порождают парные, тройные, ., n–арные корреляции между частицами. Обращение скорости привело бы к столкновениям, разрушающим корреляции.
В терминах функций распределения это можно выразить так: проинтегрируем по координатам функцию r (q1, ., qn, ., p1, ., pn,, t) . Получим в результате функцию r 0(p1, ., pn,, t) , зависящую только от импульсов. В ней не содержится никакой информации о положении частиц в пространстве, поэтому её можно назвать вакуумом корреляций. Можно также определить функцию, содержащую информацию о положении одной i-й частицы, функцию r 2(qi., qj,, p1, ., pn,, t) , описывающую две частицы и т.д. Функция r 2 содержит уже информацию о парных столкновениях, r 3 – о тройных, . В результате, мы можем разложить r на вакуум корреляций r 0 и на состояния корреляций. Отличие в квантовой механике, как обычно, связано с числом независимых переменных. Матрице плотности соответствует матричное представление – например, в терминах импульсов – r (p1, ., pn, p1', ., pn') . Мы имеем диагональные элементы с p1=p1', p2=p2', . и недиагональные, у которых по крайней мере одно из этих соотношений нарушено. В квантовой механике вакууму корреляций r 0 соответствует диагональным элементам матрицы r, а r n – недиагональным элементам, в которых n переменных p1, p2, ., pn не равны соответственно p1', p2', ., pn '. В результате взаимодействий различные состояния корреляций переходят друг в друга. (С точки зрения операторного формализма на матрицы pi действует супероператор Лиувилля – см. ниже) . Когда частица, уже коррелированная с другой частицей, сталкивается с третьей, возникает тройная корреляция, и т.д.
Теперь нетрудно установить связь между потоком корреляций и теоремой Пуанкаре. Интегрируемые системы – это системы, в которых мы можем исключить взаимодействие, поэтому исключается и поток корреляций. Следовательно, если эволюция интегрируемой системы начинается с вакуума корреляций, в ходе эволюции никогда не возникнут двойные, тройные и т.д. корреляции. Потока корреляций в интегрируемых системах не существует.
В отличие от интегрируемых систем, в неинтегрируемых системах Пуанкаре существует непрерывный процесс рождения корреляций. Неинтегрируемость означает, что мы не можем исключить поток корреляций с помощью любого (канонического) преобразования. Поток корреляций, как и все необратимые процессы, носит внутренний характер.
Кроме того, в неинтегрируемых системах вакуум корреляций становится зависящим от времени. Таким образом, делается заключение, что кинетические уравнения типа уравнений Больцмана могут выполняться только для "неинтегрируемых" систем, как классических, так и квантовых.
2.3 Проблема несводимого описания
Эволюция во времени плотности распределения вероятности определяется уравнением Лиувилля, которое следует из классической гамильтоновой динамики. В операторной записи оно имеет вид
при этом явный вид оператора Лиувилля L может быть выведен из гамильтониана. Следует отметить, что, как и операторы квантовой механики, оператор Лиувилля эрмитов.
Теория ансамблей Гиббса обобщается на случай квантовой теории с той лишь разницей, что в квантовой теории гильбертово пространство содержит лишь половину переменных, входящих в классическое описание. Место плотности вероятности занимает матрица плотности 
, эволюция её во времени описывается уравнением Лиувилля–фон Неймана 
. Так как новый оператор Лиувилля действует не на волновые функции, а на матрицу плотности, которая сама по себе оператор, L обычно называют супероператором. Оператор L – эрмитов, а пространство матриц плотности – гильбертово. [5] Использование операторного формализма позволяет в статистической механике применять к классическим системам методы, разработанные для квантовых систем: определение собственных функций и собственных значений для оператора Лиувилля.
Как и в квантовой механике, мы можем рассмотреть задачу на собственные значения: 
При этом, поскольку L – эрмитов оператор, его собственные значения ln действительны. Кроме того, из функций | j n > можно составить полную ортонормированную систему, по которой раскладывается любая функция распределения: 
.
Эволюция же распределения во времени определяется соотношением
r (t) =U(t) r (0) =e–iLtr (0) .
Как и в квантовой механике, U(t) – унитарный оператор, и поэтому
.
Таким образом, распределение вероятности разлагается в сумму независимо развивающихся во времени мод, каждая из которых входит с весом cn, постоянным во времени. Поскольку собственные значения вещественны, каждая мода "вращается" в фазовом пространстве. Единственное отличие от квантовой механики состоит в том, что в данном случае каждая мода вносит свой вклад непосредственно в вероятность r, а не в амплитуду вероятности y, как в квантовой механике.
Проблема состоит в том, что решение уравнения Лиувилля для матрицы плотности в гильбертовом пространстве не описывает приближения к равновесию [1, с. 166].
Перейти на страницу: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12