Хаос необратимость времени и брюссельская
Вопрос об обратимости времени в интерпретации со скрытыми параметрами не является ключевым, и остаётся столь же открытым, сколь и в копенгагенской интерпретации (особенно если из последней "удалось бы изъять" принцип редукции волновой функции) .
г) Многомировая интерпретация квантовой механики (концепция Эверетта) исходит из принципа реальности волновой функции. При этом постулируется, что существует такая функция сразу для всей Вселенной, и нет необходимости в мистическом "внешнем наблюдателе", отвечающем, например, за квантовые эффекты в момент её рождения. В многомировой интерпретации место постулата редукции волнового пакета занимает понятие "ветвления волновой функции Вселенной", которое можно толковать либо образно – как появление "параллельных квантовых миров", либо чисто математически, как процедуру дефакторизации волновой функции наблюдаемого объекта [2, с. 29]. При этом возникают свои математические тонкости, связанные с предпочтительным выбором базиса собственных состояний для каждого объекта во Вселенной, исключающего "лишние" ветвления для не наблюдающихся в конкретном эксперименте объектов (своеобразное применение хорошо известной "бритвы Оккама") .
Наконец, брюссельская интерпретация ограничивает применимость чистых состояний (то есть точек в фазовом пространстве классической механики и волновых функций в квантовой механике) введением некоего нового принципа, который можно назвать "микроскопическим вторым началом термодинамики". При этом отвергается представление как о реальности волновой функции в старом смысле этого слова, так и о "классическом идеале" – в пользу новой концепции, в основе которой лежит необратимость времени.
3.2 Неунитарная эволюция и несводимое описание
Необратимость, выражаемая стрелой времени – свойство статистическое. Она не может быть введена на уровне отдельных траекторий (или волновых функций) и поэтому требует радиального отхода от ньютоновской механики или ортодоксальной квантовой механики, в основе которых лежат понятия траектории или отдельной волновой функции. Ещё Больцман понял, что необходим подход на основе ансамблей. Школа Пригожина реализует эту программу с необходимой математической строгостью.
Неустойчивость и хаос вынуждают отказаться от описания классической механики в терминах траекторий и перейти к описанию в терминах распределения вероятности. Примером может служить рассмотренное ранее отображение сдвига Бернулли. В разделе 1.1 был приведён явный вид оператора с дискретным временем, описывающего эволюцию плотности вероятности для сдвига Бернулли (применительно к отображениям подобный оператор называется оператором Перрона–Фробениуса) . В статистической механике оператор эволюции имеет вид U(t) = e–iLt, а в квантовой механике U(t) = e–iHt. Два последних оператора унитарны, то есть сохраняют скалярное произведение, и в гильбертовом пространстве имеют собственные значения, по модулю равные 1 – то есть приводят к периодическим функциям от времени типа exp(–iEnt) . В отличие от них оператор эволюции хаотических систем должен описывать приближение к равновесию и, следовательно, содержать время релаксации. Для этого требуются комплексные спектральные представления.
Оказалось, что для сдвига Бернулли в гильбертовом пространстве спектрального разложения отображения не существует. Собственные функции этого оператора не удовлетворяют условию квадратичной интегрируемости, поэтому вместо гильбертова пространства требуется перейти к так называемому обобщённому пространству, включающему наряду с квадратично интегрируемыми функциями, например, ещё и d -функции типа дираковской. Собственные значения для построенных в этом пространстве собственных функций оказываются напрямую связанными с временем Ляпунова в хаотической системе.
На языке распределений вероятности отдельная траектория для сдвига Бернулли представляется функцией r n=d (x–xn) , сдвиг Бернулли преобразует её в r n+1=d (x–xn+1) = d (x–2xn) при xn<1/2 и в r n+1=d (x–xn+1) = d (x+1–2xn) при 1/2<x<1. Если при этом величина r n постоянна, то r n+1 также будет постоянна, что соответствует равновесию и достигается при n® µ .
Рассмотрим задачу на собственные значения для оператора эволюции U. Нетрудно проверить, что U(x–1/2) = 1/2(x–1/2) . Следовательно, (x–1/2) – собственная функция оператора U, соответствующая собственному значению 1/2. В отличие от оператора эволюции в квантовой механике, мы получили комплексную спектральную теорию (собственное значение соответствует k=i ln2) . Полученное значение связано с показателем Ляпунова, который в точности равен 1/2=e–ln 2. Применение оператора U к функции x–1/2 приводит к затуханию. Итерируя действие оператора U, мы получаем последовательность (1/2) n, которая при n® µ стремится к нулю.
Функция x–1/2 принадлежит семейству многочленов, называемых многочленами Бернулли:
B0(x) = 1; B1(x) = x – 1/2; B2(x) = x2 – x + 1/6; B3(x) = x3 – 3/2 x2 + 1/2 x; B4(x) = x4 – 2 x3 + x2 – 1/30;
.
На первый взгляд может показаться, что задача на собственные значения для сдвига Бернулли решена, но это не так. Рассмотрим теперь оператор U+, сопряжённый с оператором U (сопряжённый оператор определяется соотношением <Uf|g> = <f|U+g>) . Нетрудно показать, что он имеет вид: 
Можно также показать, что оператор U+ – изометрический, то есть сохраняет скалярное произведение (однако в отличие от унитарного изометрический оператор не допускает обратного, из чего следует, что сдвиг Бернулли – не обратимое отображение) . Задача на собственные значения U+f(x) =l f(x) не имеет других решений в классе непрерывных функций, кроме постоянной. Таким образом, сдвиг Бернулли не имеет спектрального представления в гильбертовом пространстве. Однако U+ имеет собственные функции и собственные значения в обобщённых пространствах. Например:
U+[d (x–1) –d (x) ]=1/2 [d (x–1) –d (x) ],
Перейти на страницу: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12