Физическое описание явления фильтрации жидкости
|
Величина C, имеющая размерность скорости, называется коэффициентом фильтрации.
Функция f в выражении (3) зависит не только от пористости, но и от других безразмерных характеристик геометрии порового пространства. Были сделаны многочисленные попытки представить в качестве функции пористости и характерного размера для типичных пористых сред как путем рассмотрения простейших моделей, так и путем обработки опытных данных. Все полученные результаты носят частный характер и имеют узкую область применимости. Наибольшей известностью из формул этого рода пользуется уравнение Козени - Кармана, полученное на основе аналогии между пористой средой и системой параллельных трубок, выражающее проницаемость через удельную поверхность å и пористость m:
|
(6)
Постоянная К определяется из опыта и оказывается разной для пористых сред различной структуры. Формула (6) используется главным образом при расчетах фильтрационных сопротивлений искусственных пористых сред, применяемых в химических аппаратах; ею пользуются также при определении удельной поверхности порошков.
Закон Дарси является следствием предположения о безинерционности движения жидкости. Фильтрационное течение, следующее закону Дарси, является частным случаем ползущего течения (широко известным примером ползущего течения является стоксовское обтекание сферы). Течения такого типа характеризуются преобладанием вязких сил над инерционными, т. е. очень малыми числами Рейнольдса (Re << 1). Поэтому представляются нецелесообразными многочисленные попытки получить закон Дарси путем осреднения уравнений Навье - Стокса. Ясно, что любой такой вывод будет сводиться в конечном счете к попытке вычислить проницаемость по известной геометрической структуре пористой среды.
Закон Дарси имеет весьма широкую область приложения и на его основе получены основные результаты теории фильтрации. Существуют, однако, случаи, когда линейный закон фильтрации Дарси не применим. Эти случаи, необходимые обобщения закона Дарси и возникающие при этом нелинейные задачи теории фильтрации будут рассмотрены ниже. Пока же будем считать все рассматриваемые движения подчиняющимися закону Дарси.
До сих пор предполагалось, что пористая среда изотропна. Если пористая среда не является изотропной, то из общих соображений можно утверждать, что в произвольной ортогональной декартовой системе координат х1, х2, х3 компоненты вектора grad p выражаются через компоненты ui вектора 
следующим образом:
(7)
где cij - некоторый тензор. В случае безинерционных движений компоненты тензора cij могут зависеть только от вязкости жидкости m, тех или иных геометрических характеристик пористой среды и модуля вектора скорости фильтрации 
.
|
|
(8)
где тензор kij является обратным тензору rij, также зависит от геометрических характеристик пористой среды, имеет размерность площади называется тензором проницаемости. Эта зависимость представляет собой закон Дарси для анизотропной пористой среды.
Покажем теперь, что тензор сопротивлений rij и тензор kij являются симметричными, т.е. rij = rij, kij = kij. В самом деле, на пористую среду со стороны фильтрующейся жидкости действует объемная сила, пропорциональная градиенту давления; безразмерный множитель пропорциональности зависит только от геометрических характеристик пористой среды. Удельная работа этой силы, т.е. работа за единицу времени на единицу объема системы жидкость - пористая среда, равная удельной диссипации энергии жидкостью в пористой среде, равна скалярному произведению
|
(9)
Очевидно, что удельная работа сил взаимодействия жидкости с пористой средой не должна зависеть от выбора осей координат х1, х2, х3. Но для того чтобы квадратичная форма rβα , пропорциональная этой удельной работе, не зависела от выбора системы координат, необходимо и достаточно, чтобы rαβ = rβα Аналогично можно показать, что kαβ = kβα
Перейти на страницу: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15