Физическое описание явления фильтрации жидкости
m = const, (57)
(р0 и r0 - постоянные). При этом
|
(58)
и уравнение (56) преобразуется к виду:
|
(59)
или
|
Уравнения (59) и (60) выведены в предположении постоянства температуры газа Т0. Поэтому их обычно называют уравнениями изотермической фильтрации газа.
Уравнение (60) - основное для теории фильтрации газа - получено впервые Л. С. Лейбензоном, а затем, несколько позднее, в работе Маскета и Ботсета. Преобразования (55) также берет свое начало от работ Л. С. Лейбензона. Далее уравнение (60) совпадает с уравнением Буссинеска (47) для напора при пологих безнапорных фильтрационных движениях. Эта аналогия, впервые обнаруженная Л. С. Лейбензоном, позволяет рассматривать исследование изотермической фильтрации газа и пологих безнапорных движений несжимаемой жидкости как одну задачу.
3. НЕЛИНЕЙНЫЕ ИНВАРИАНТНЫЕ ЗАДАЧИ
НЕСТАЦИОНАРНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ
ЖИДКОСТЕЙ И ГАЗОВ
3.1. Общая характеристика инвариантных задач
теории нестационарной фильтрации.
Автомодельные пологие безнапорные движения
при нулевом начальном уровне жидкости
3.3.1. Общая характеристика инвариантных задач теории нестационарной фильтрации. В разделе 2 было показано, что основные задачи гидродинамической теории нестационарной фильтрации приводят к краевым, смешанным или начальным задачам для нелинейных, как правило, дифференциальных уравнений в частных производных параболического типа. Нелинейность вообще характерна для многих актуальных задач современной гидродинамики: газодинамики, теории волн, теории движений вязкой жидкости и т. д. В настоящее время существует сколько-нибудь общих эффективных аналитических методов решения достаточно широких классов нелинейных задач математической физики; это в полной мере относится и к теории фильтрации. Поэтому в теории фильтрации уже давно привлекли внимание своеобразные частные решения, которые выражаются через функции одной переменной. Вначале эти решения обратили на себя внимание только потому, что их получение сводилось к решению обыкновенных уравнений и представлялось (особенно в домашинную эру) более простым, чем решение уравнений в частных производных в общем случае. При построении различных приближенных методов решения, более общих, эти решения часто использовались как эталоны, позволяющие оценить точность метода. (Приближенные методы аналитического решения сохраняют, особенно в теории фильтрации, свое значение и сейчас, при широком внедрении машин, поскольку эти методы дают аналитические формулы, позволяющие наглядно проследить влияние различных параметров, а высокая точность в теории фильтрации не представляет особого интереса. В ряде случаев задачи, описываемые такими решениями, представляют и самостоятельный интерес.
Однако главная ценность таких решений была осознана позднее. Оказалось, что они представляют собой асимптотические представления решений весьма широких классов задач именно там, где детальная структура граничных и начальных условий перестает быть существенной, а эти области часто бывают наиболее интересными (например, спустя некоторое время после начала отбора из скважины, пока воронка депрессии не достигла области влияния соседней скважины и т. д.). Поэтому, зная такие решения, мы фактически получаем возможность судить, по крайней мере качественно, о поведении очень широкого класса фильтрационных движений.
Важным свойством рассматриваемых ниже решений является их инвариантность: для одних из этих решений - “автомодельных” - распределение давлений, напоров, плотностей и т. п. оказывается все время подобным самому себе, для других - перемещается как твердое тело с постоянной скоростью и т. д. Это свойство связано с особым характером задач, приводящих к таким решениям. Выполнение определенных преобразований зависимых и независимых переменных оставляет уравнения, граничные и начальные условия задачи неизменными. Как говорят в математике, эти задачи инвариантны относительно некоторой группы непрерывных преобразований. Такие задачи называются инвариантными, они рассматриваются ниже.
3.1.2. Автомодельные пологие безнапорные движения при нулевом начальном уровне жидкости. Ниже будут рассмотрены точные решения некоторых линейных задач нестационарной фильтрации, характеризующихся нулевым начальным условием. Исследование этого класса движений представляет, помимо непосредственного, также принципиальный интерес, поскольку в подобных задачах наиболее сильно проявляется существенно нелинейный характер рассматриваемой проблемы и обнаруживаются некоторые свойства нелинейных движений, резко отличающие их от соответствующих линейных задач и неизбежно утрачиваемые при линеаризации.
Будем рассматривать безнапорные пологие фильтрационные движения в первоначально сухом грунте, имея в виду, что в силу обнаруженной Л. С. Лейбензоном аналогии все результаты непосредственно переносятся на задачи изотермической фильтрации газа. Излагаемые ниже в этом параграфе решения были получены Г. И. Баренблаттом.
Перейти на страницу: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15