Физическое описание явления фильтрации жидкости
Рассмотрим полубесконечный пласт, имеющий снизу плоскую горизонтальную непроницаемую границу - водоупор, а со стороны канала - плоскую вертикальную границу, перпендикулярную оси x и проходящую через точку x =0.
Пусть начальный напор жидкости в пласте равен нулю, а напор на вертикальной границе пласта изменяется по степенному закону, начиная с исходного момента t =t0:
h(0, t) = s (t-t0)a, (61)
где s > 0, а a - некоторая константа, которую будем выбирать в пределах –Ѕ<α<8. В частности, константа a может равняться нулю; в этом случае напор на границе мгновенно принимает некоторое значение s и остается постоянным.
В случае фильтрации газа сформулированная задача отвечает закачке газа в первоначально не заполненный однородный пласт постоянной мощности при изменении давления газа в начальном сечении пласта х = 0 по закону (61). Линиями равных напоров будут линии х = const, параллельные границе пласта. Таким образом, напор h(x, t) удовлетворяет уравнению
|
(62)
получающемуся из общего уравнения Буссинеска (47) для данных геометрических условий задачи, а также граничному условию (61), начальному условию и условию на бесконечности:
h(x, t0) = h(¥, t) = 0. (63)
Напор в некоторой точке пласта h зависит от следующих аргументов: координаты х, времени, прошедшего от начало процесса t - t0 (в силу однородности уравнения (62) по времени напор будет зависеть только от разности t - t0, а не от значений t и t0 в отдельности), коэффициентов a и s и константы a. Вводя для удобства независимую размерность напора (это возможно, так как для рассматриваемой задачи несущественно, что размерности длины и напора одинаковы), получим размерности этих аргументов в следующем виде:
[a] = [h]-1 L2 T-1; [t - t0] = T; [x] = L; [s] = [h] T-a, (64)
где через [h], L и Т обозначены соответственно размерности напора, длины и времени; константа a безразмерна. Из аргументов, от которых зависит напор жидкости, можно составить только две независимые безразмерные комбинации:
|
(65)
В силу p- теоремы анализа размерностей выражение для напора можно представить в виде произведения комбинации определяющих параметров, имеющей размерность напора (в качестве нее можно взять s (t - t0)a ), на безразмерную функцию от безразмерных комбинаций (65). Имеем таким образом
h = s(t - t0)a f(x, l); l = a/(1+a), (66)
где f - безразмерная функция, а параметр l введен вместо параметра a для удобства последующего изложения. Очевидно, что l лежит в интервале -1 <l<1. Имеем, далее, в силу (66)
 |
Подставляя эти соотношения в уравнение (62) и упрощая, получаем для функции f обыкновенное дифференциальное уравнение:
|
(67)
После подстановки выражения (66) в граничное условие (61) и условие (63) получаем для функции f (x, l) краевые условия:
f(0, l) = 1; (68)
f(¥, l) = 0. (69)
Напор и объемный поток (расход) грунтовых вод должны быть непрерывными функциями x и t. Используя закон Дарси, имеем для расхода, приходящего на единицу ширины пласта, выражение
|
(70)
Таким образом, из требования непрерывности расхода следует непрерывность функции df2/dx.
При непрерывной функции f(x) и f ¹ 0 требование непрерывности функции df2/dx = 2fdf/dx совпадает с требованием непрерывности производной df/dx. Однако при f = 0 из непрерывности df2/dx непрерывность df/dx не вытекает. Напротив, как увидим далее, искомая функция f(x, l) имеет в точке, где f обращается в нуль, разрыв первой производной.
Условие (69) удобнее привести к другому виду. Умножим обе части основного уравнения (62) на х и проинтегрируем по х от нуля до бесконечности. В результате получим
|
t5555555555 Очевидно, что dh2/dx стремится к нулю при х®¥, быстрее, чем х-1, в противном случае h не стремилось бы к нулю при х®¥. Используя это обстоятельство и условие на бесконечности (63), получаем
|
Перейти на страницу: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15