В качестве массы для оценки можно подставить величину 10Mp , где Mp≈ 2· 10–24 г

Фонон

Страница 3

В качестве массы для оценки можно подставить величину 10Mp , где Mp≈ 2· 10–24 г — масса протона.

Для ωmax получаем:

$\omega_{max}\sim \sqrt{\frac{4\cdot 1.6\cdot 10^4}{2\cdot 10^{-23}}}\approx 6\cdot 10^{13} {\rm с}^{-1}, \nu=\frac{\omega}{2\pi}\sim 10^{13} {\rm Гц}$

(17)

Найдем длину волны электромагнитного излучения такой частоты:

$\lambda=\frac{c}{\nu}\approx \frac{3\cdot 10^{10}}{10^{13}}=3\cdot 10^{-3} {\rm см}=30 {\rm мкм}$

(18)

Электромагнитные волны с такой длиной принадлежат инфракрасному диапазону.

При ka/2<<1, когда длина волны λ = 2π/k много больше a, sin(ka/2)≈ ka/2, поэтому:

$\omega(k) \approx \sqrt{\frac{4\gamma}{M}} \left| \frac{ka}{2}\right|=a\sqrt{\frac{\gamma}{M}} |k|=s|k|, s=a\sqrt{\frac{\gamma}{M}}$

(19)

Таким образом, длинноволновые колебания — это звуковые волны с линейным законом дисперсии ω = s|k|. Выше мы уже получали такой результат, заменив точное уравнение цепочки (2) волновым уравнением (3). Это и неудивительно: длинные волны ''не чувствуют'' дискретной структуры цепочки, цепочка ведет себя как непрерывная упругая среда. По этой причине скорость звука s зависит только от макроскопических характеристик цепочки: линейной плотности, M/a, и упругой постоянной цепочки γ· a — коэффициента пропорциональности между относительным удлинением цепочки и возникающей при этом силой натяжения:

$s=\sqrt{\frac{\gamma\cdot a}{M/a}}$

(20)

Рассмотренные нами колебания одномерной цепочки называют акустическими, поскольку при k→ 0 (λ→∞) они соответствуют звуковым волнам.

Ниже мы увидим, что в цепочке с двумя (и более) атомами в элементарной ячейке наряду с акустическому могут распространяться волны другого типа.

При квантовомеханическом описании каждому колебанию соответствует квазичастица с импульсом p = ħ k и энергией ${\cal E}=\hbar\omega$ . Квазичастицы, соответствующие упругим колебаниям кристаллической решетки называются фононами. Фононы, соответствующие акустическим колебаниям, также называются акустическими.

Оценим максимальную энергию акустического фонона в одномерной цепочке:

${\cal E}=\hbar\omega\sim 10^{-27}\cdot 10^{14}=10^{-13} {\rm эрг}\approx 0.05 {\rm эВ}$

(21)

Экспериментальные значения ħωmax в реальных кристаллах составляют 30÷ 40 мэВ.

Эта величина намного меньше большинства характерных электронных энергий (~ 1 эВ) и близка к тепловой энергии при комнатной температуре (kBT≈ 0.025эВ, здесь kB – постоянная Больцмана).

Одномерная цепочка с двумя атомами в примитивной ячейке

Исследуем теперь колебания цепочки, элементарная ячейка которой состоит из двух атомов с разными массами: M1 и M2, для определенности положим M1<M2. Период цепочки (расстояние между узлами ее решетки Браве) как и прежде обозначим через a (рис. 3). Для простоты будем считать, что ''пружинки'' соединяющие атомы имеют одинаковую жесткость γ.

Рис. 3. Одномерная цепочка с двумя атомами в примитивной ячейке и ее решетка Браве.

Запишем закон Ньютона для двух атомов n-й ячейки:

$M_1\frac{d^2u_n}{dt^2} = \gamma(v_{n+1}-u_n)-\gamma(u_n-v_n)=\gamma(v_{n+1}+v_n-2u_n)$
$M_1\frac{d^2v_n}{dt^2} = \gamma(u_n-v_n)-\gamma(v_n-u_{n-1})=\gamma(u_n+u_{n-1}-2v_n)$			(22)

Здесь un и vn — смещения соответственно маленького и большого атома n-й ячейки из положения равновесия.

Будем, как и в случае цепочки с одним атомом в примитивной ячейке, искать решение в виде плоской гармонической волны:

$u_n=Ae^{i(kx_n-\omega t)}$
$v_n=Be^{i(kx_n-\omega t)}$			(23)

Амплитуды колебаний маленького и большого атомов A и B в общем случае разные как по абсолютной величине, так и по фазе.

После подстановки (23) в (22) получим линейную однородную систему уравнений для A и B:

–M1ω2A	=	γ(Beika+B–2A)
–M2ω2B	=	γ(A+Ae–ika–2B)	(24)

Перейти на страницу: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

Фонон

Разделы