Такие суммы встречаются довольно часто ::: physicedu.ru

Фонон

Страница 9

Такие суммы встречаются довольно часто. Т. к. f зависит только от энергии фонона, то от суммы по состояниям можно перейти к интегралу по энергии:

$\sum_{j,\vec{k}}f\left({\cal E}_j(\vec{k})\right)= \int f(\cal E)\rho(\cal E) d\cal E$

(54)

Здесь $\rho(\cal E)$ — плотность состояний фононов. Напомним, что $\rho(\cal E)d\cal E$ — это число состояний квазичастиц (фононов) в единице объема с энергиями от $\cal E$ до $\cal E+d\cal E$ , т. е. число различных колебаний с такими энергиями.

Суммарная плотность состояний складывается из плотности состояний разных ветвей: $\rho(\cal E)=\sum_j\rho_j(\cal E)$ ; плотность состояний ветви определяется ее законом дисперсии $\omega_j(\vec{k})$ . Аналитически получить законы дисперсии и плотности состояний фононов реальных кристаллов практически невозможно.

Однако при низких температурах энергия и теплоемкость определяются длинноволновыми акустическими фононами. Плотность состояний акустических фононов нам известна, мы получили ее в качестве примера, когда вводили само понятие плотности состояний (). Если для j-й акустической ветви ω = sj|k|, то

$\rho_j(\cal E)=\frac{\cal E^2}{2\pi^2\left(s_j\hbar\right)^3}$

(55)

Плотность состояний длинноволновых колебаний всех акустических ветвей получается суммированием по трем акустическим ветвям:

$\rho(\cal E)=\frac{\cal E^2}{2\pi^2\hbar^3}\sum_j \frac{1}{s_j^3}= \frac{3\cal E^2}{2\pi^2(s\hbar)^3},$

(56)

где s — ''усредненная'' скорость звука:

$\frac{3}{s^3}=\sum_{j=1}^3 \frac{1}{s_j^3}$

(57)

Линейный закон дисперсии ω = s|k| и соответствующая плотность состояний верны только для малых k. При б\'ольших значениях волнового вектора закон дисперсии и плотность состояний имеют более сложный вид.

Однако при низких температурах вклад в энергию и теплоемкость вносят как раз только длинноволновые фононы, а при высоких температурах вид плотности состояний не важен, т. к. в этом случае на каждое колебание приходится энергия kT. Чтобы получить выражение, которое давало бы правильные предельные зависимости при низких и высоких температурах, Дебай предложил считать, что закон дисперсии ω = s|k| выполняется и при больших k. Максимальное значение волнового вектора kD при этом выбирается так, чтобы в шаре радиуса kD содержалось столько разрешенных значений волновых векторов, сколько их содержится в зоне Бриллюэна, N = 1/v0. Иными словами, объем этого шара должен быть равен объему зоны Бриллюэна (2π)3/v0, откуда

$k_D^3=6\pi^2N=\frac{6\pi^2}{v_0}$

(58)

Таким образом, сохраняя число акустических колебаний, мы заменяем первую зону Бриллюэна сферой, а реальный закон дисперсии — линейным. Фонон с волновым вектором kD имеет энергию $\cal E_D=\hbar sk_D=(6\pi^2N)^{1/3}\hbar s$ . Соответствующая $\cal E_D$ температура,

$\theta=\frac{\cal E_D}{k_B}=(6\pi^2N)^{1/3}\frac{\hbar s}{k_B},$

(59)

называется температурой Дебая.

В таком приближении мы можем вычислить вклад акустических ветвей в энергию и теплоемкость решетки:

$E=\int_0^{\cal E_D} \cal E\cdot \bar{n}(\cal E)\cdot \rho(\cal E) d\cal E= \int_0^{\cal E_D}\frac{\cal E}{\exp(\frac{\cal E}{k_BT})-1}\cdot\frac{3\cal E^2 d\cal E}{2\pi^2s^3\hbar^3}=$

$=\frac{3k_B^4T^4}{2\pi^2s^3\hbar^3}\int_0^{\theta/T}\frac{x^3 dx}{e^x-1}$

(60)

При низких температурах, T<<θ, верхний предел интеграла много больше единицы. Благодаря экспоненте в знаменателе интеграл сходится очень быстро, что позволяет положить верхний предел равным бесконечности. Значение такого интеграла известно:

$\int_0^{\infty}\frac{x^3 dx}{e^x-1}=\frac{\pi^4}{15}$

(61)

Перейти на страницу: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

Фонон

Разделы