Перепишем ее в стандартном виде ::: physicedu.ru

Фонон

Страница 4

Перепишем ее в стандартном виде:

$\begin{array}{rcrcc} (2\gamma-M_1\omega^2)A&-&\gamma(e^{ika}+1)B&=&0\\ \gamma(e^{-ika}+1)A&+&(2\gamma-M_2\omega^2)B&=&0 \end{array}$

(25)

Такая система имеет решения лишь в том случае, когда ее определитель равен нулю. Приравнивая нулю определитель (25) получим уравнение, связывающее ω и k, т. е. дисперсионное уравнение:

M1M2ω4 – 2γ(M1+M2)ω2+2γ2(1–cos ka) = 0

(26)

Это уравнение удобно переписать, использую приведенную массу атомов примитивной ячейки μ:

$\frac{1}{\mu} = \frac{1}{M_2}+\frac{1}{M_1} = \frac{M_2+M_1}{M_1M_2}$

(27)

$\omega^4-2\frac{\gamma}{\mu}\omega^2+\frac{4\gamma^2}{M_1M_2}\sin^2\frac{ka}{2}=0$

(28)

Его решения имеют вид:

$\omega^2=\frac{\gamma}{\mu}\pm\sqrt{\frac{\gamma^2}{\mu^2}-\frac{4\gamma^2}{M_1M_2}\sin^2\frac{ka}{2}}$

(29)

или

$\omega^2=\frac{\gamma}{\mu}\left(1\pm\sqrt{1-\frac{4\mu^2}{M_1M_2}\sin^2\frac{ka}{2}}\right)$

(30)

Величина 4μ2/(M1M2) при любых M1, M2 не превосходит единицы, поэтому подкоренное выражение всегда неотрицательно.

Итак, для каждого волнового вектора k существуют две частоты ω, удовлетворяющие дисперсионному уравнению. Точнее, есть две непрерывные функции ω(k), которые отличаются знаком перед корнем. Говорят, что существуют две ветви колебаний.

Исследуем обе ветви.

Напомним, что волновые вектора, отличающиеся на вектор обратной решки, описывают одно и то же колебания. (Вследствие этого функция ω(k) периодична с периодом обратной решетки 2π/a, а в трехмерном случае обладает трансляционной симметрией обратной решетки). Поэтому мы считаем, что волновой вектор лежит в пределах первой зоны Бриллюэна: –π/a<k<π/a.

Решение со знаком ''минус''

В точке k = 0:

$\omega^2(0)=\frac{\gamma}{\mu}-\sqrt{\frac{\gamma^2}{\mu^2}} = 0$

(31)

На границе зоны Бриллюэна:

$\omega^2\left(\frac{\pi}{a}\right)=\frac{\gamma}{\mu}-\sqrt{\frac{\gamma^2}{\mu^2}-\frac{4\gamma^2}{M_1M_2}} = \frac{2\gamma}{M_2}$

(32)

При ka<< 1 (длинные волны):

ω2(k)	≈	$\frac{\gamma}{\mu}\left[1-\sqrt{1-\frac{4\mu^2}{M_1M_2}\left(\frac{ka}{2}\right)^2}\right] \approx$
	≈	$\frac{\gamma}{\mu}\left[1-\left(1-\frac{2\mu^2}{M_1M_2}\left(\frac{ka}{2}\right)^2\right)\right] =$
	=	$\frac{2\mu\gamma}{M_1M_2}\left(\frac{ka}{2}\right)^2 =$
	=	$a^2\frac{\gamma}{2(M_1+M_2)} k^2,$	(33)

другими словами

$\omega(k)\approx a\sqrt{\frac{\gamma}{2(M_1+M_2)}} |k| = s |k|, s=a \sqrt{\frac{\gamma}{2(M_1+M_2)}}$

(34)

Мы видим, что в длинноволновом пределе закон дисперсии этой ветви линеен, т. е., как и в случае цепочки с одним атомом в примитивной ячейке, описывает акустические колебания. По этой причине вся ветвь (решение со знаком ''–'') называется акустической (рис. 4).

Рис. 4. Закон дисперсии колебаний цепочки с двумя атомами в примитивной ячейке.

Выражение для скорости звука имеет такой же вид, что и соответствующее выражение для цепочки с одним атомом в ячейке (20) и зависит от тех же макроскопических характеристик: линейной плотности и упругой постоянной цепочки:

$s=\sqrt{\frac{\gamma\cdot a/2}{(M_1+M_2)/a}}$

(35)

Перейти на страницу: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

Фонон

Разделы