Обобщим теперь полученные результаты ::: physicedu.ru

Фонон

Страница 6

Обобщим теперь полученные результаты. Нетрудно показать, что если примитивная ячейка одномерной цепочки содержит l атомов, то спектр колебаний состоит из l ветвей, одна из которых акустическая, а остальные — оптические.

Мы рассматривали бесконечную цепочку, не накладывая никаких ограничений на длины волн упругих колебаний. В результате, мы пришли к выводу, что в цепочке могут распространяться колебания с любыми волновыми векторами, лежащими в первой зоне Бриллюэна. (Было показано, что из-за дискретности цепочки волновые вектора, отличающиеся на произвольный вектор обратной решетки, описывают одни и те же колебания. Поэтому можно брать волновой вектор из любой зоны Бриллюэна. Естественней всего описывать колебание наименьшим волновым вектором, т. е. вектором из первой зоны Бриллюна.)

Чтобы иметь дело не с непрерывным, а с дискретным набором волновых векторов, можно потребовать, чтобы отклонение атомов от равновесия было периодической функцией: u(xn) = u(xn+L). Иными словами — поставить граничные условия Борна-Кармана. Период L должен быть кратен постоянной решетки цепочки.

Условиям Борна-Кармана удовлетворяют только гармонические колебания с ''разрешенными'' волновыми векторами kn = 2π n/L. Нетрудно подсчитать, что в зоне Бриллюэна размещается L/a разрешенных волновых векторов, т. е. ровно столько, сколько примитивных ячеек укладывается на длине L. (Волновым векторам –π/a и π/a соответствует одно и то же колебание и поэтому считаем эти два значения за одно). Мы уже упоминали выше об этом свойстве зоны Бриллюэна.

Т. к. колебание однозначно определяется волновым вектором и ветвью, то различных колебаний столько, сколько атомов содержит цепочка. Это общее свойство линейных колебательных систем: количество независимых колебаний (нормальных мод) равно числу степеней свободы системы.

Трехмерный кристалл

Мы рассмотрели колебания в одномерной цепочке. Подобным образом могут быть описаны и колебания решетки трехмерного кристалла.

Предположим, что примитивная ячейка кристалла состоит из l атомов. Каждый атом ячейки будем обозначать индексом s, этот индекс принимает l различных значений. Любой атом кристалла однозначно определяется радиус-вектором $\vec{r}_n$ , задающим положение ячейки (соответствующего узла решетки Браве), и индексом s, характеризующим положение атома внутри ячейки (тип атома).

Смещение атомов при колебаниях решетки является линейной комбинацией плоских гармонических волн (точнее, их вещественных частей):

$\vec{u}_{ns}(t)=\vec{A}_{sj}(\vec{k})\exp\left[i(\vec{k}\vec{r}_n-\omega_j(\vec{k})t)\right]$

(40)

Частота колебаний одинакова для всех атомов кристалла. Амплитуда колебаний зависит от типа атома (индекса s), т. е. одинакова для всех однотипных атомов. Направление вектора амплитуды может, вообще говоря, быть каким угодно.

Индекс j обозначает ветвь колебаний. Волновой вектор $\vec{k}$ и ветвь j однозначно определяют частоту и относительные амплитуды атомов всех типов. Для каждой ветви зависимости $\omega_j(\vec{k})$ и $A_{sj}(\vec{k})$ являются непрерывными функциями.

Если примитивная ячейка кристалла содержит l атомов, то число ветвей равно 3l. Таким образом, каждому значению волнового вектора соответствуют 3l разных колебаний.

Три из этих ветвей — акустические, в предельном случае длинных волн их частота пропорциональна длине волнового вектора ω = s|k|. Однако скорость звука s зависит от направления распространения волны, т. е. от направления $\vec{k}$ . В случае длинноволновых акустических колебаний амплитуды всех атомов примитивной ячейки примерно одинаковы.

Остальные 3l–3 ветвей — оптические, при $\vec{k}=0$ их частота отлична от нуля.

По направлению амплитуды относительно волнового вектора акустические колебания можно разделить на продольное (LA) и два поперечных (TA). Строго говоря, смещения атомов при этих колебаниях параллельны или перпендикулярны вектору $\vec{k}$ только при распространении волны в направлениях высокой симметрии, например [100] для кристаллов кубической сингонии. Как правило, скорость звука у продольного колебания больше чем у поперечных.

У кристаллов со структурой алмаза или цинковой обманки примитивная ячейка содержит 2 атома. Соответственно, кроме трех акустических, эти кристаллы обладают тремя оптическими ветвями колебаний, из которых также можно выделить продольную (LO) и две поперечных (TO) ветви.

Как и в одномерном случае, волновые вектора, отличающиеся друг от друга на вектор обратной решетки, соответствуют одному и тому же колебанию. По этой причине достаточно рассматривать волновые вектора, лежащие в первой зоне Бриллюэна.

Количество разрешенных волновых векторов в зоне Бриллюэна равно N = V/v0 — числу примитивных ячеек в нормировочном объеме кристалла V = L3 (v0 – объем примитивной ячейки). Действительно, плотность разрешенных волновых векторов в обратном пространстве равна V/(2π)3, т. е. в объеме обратного пространства Δ3k содержится Δ3k· V/(2π)3 разрешенных волновых векторов. Объем зоны Бриллюэна — объем примитивной ячейки обратной решетки — равен (2π)3/v0, и для числа разрешенных состояний получаем (2π)3/v0· V/(2π)3 = V/v0 = N.

Число ветвей — 3l, поэтому полное число колебаний равно 3lN — утроенному числу атомов кристалла в объеме L3, т. е. числу степеней свободы механической системы.

Перейти на страницу: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

Фонон

Разделы