Концепция современного естествознания
Слева стоит элементарная работа, а справа дифференциал некоторой функции ,имеющий размерность работы и зависящий от скорости: дифференциал функции скорости, определяемой совершенной работой. Пусть в начальный момент времени t0 скорость тела равнялась u0. Полную работу за промежуток времени от t0 до t1 получим после интегрирования dA, как это сделано в формуле (11.4). Совершаемая над телом работа привела к увеличению его скорости.
Теперь можно ввести понятие кинетической энергии:
.
Кинетическая энергия определяется работой, которая совершена над телом. Положительная работа приводит к увеличению скорости тела и к увеличению кинетической энергии, отрицательная - к уменьшению того и другого. Если система состоит из многих тел, то ее кинетическая энергия складывается из кинетических энергий всех тел.
Кроме кинетической энергии есть еще потенциальная энергия, для которой не существует общей формулы. Это понятие можно ввести лишь для ограниченного класса сил - для консервативных сил. Это силы, работа которых по замкнутой траектории равна нулю. Существует другое определение консервативных сил. Консервативными силами называются такие силы, работа в поле которых не зависит от траектории и определяется только начальным и конечным положением системы. Нетрудно показать, что эти определения равнозначны. Действительно, если работа не зависит от траектории, то при обратном движении вдоль траектории она будет такая же, но с обратным знаком. Просуммировав движение по замкнутой траектории, состоящей из двух кривых, получаем в сумме 0. Консервативные силы, как правило, зависят только от положения тела, а неконсервативные - от его скорости.
Рассмотрим примеры полей консервативных и неконсервативных сил. Силы трения или сопротивления являются неконсервативными. Их направление определяется скоростью перемещения тел. Силы трения всегда направлены в сторону, противоположную направлению движения, т.е.: 
. Здесь 
- единичный вектор, направленный вдоль скорости тела, а значит, по касательной вдоль траектории его движения. Работа силы трения по замкнутой траектории (
) равна:
. Здесь и в дальнейшем кружок у интеграла означает интегрирование по замкнутой траектории. Последнее подынтегральное выражение скалярное, оно всегда положительно, следовательно, работа силы трения на замкнутой траектории 
всегда отрицательна. Эта работа тем больше по модулю, чем длиннее путь. Вывод: силы трения - неконсервативные силы.
Заметим, что кроме сил трения движения, есть еще так называемые силы трения покоя, которые, как это ясно из их названия, обеспечивают телу состояние покоя. Поскольку движения тела не происходит, то и работы они не совершают.
Примером поля консервативных сил является поле тяготения вблизи поверхности Земли. Работа, которая затрачивается на перемещение тела из положения r1 в положение r2 равна: 
. Из этой формулы видно, что работа силы тяжести зависит от величины этой силы и от разности начальной и конечной высот тела. Никакой зависимости от формы траектории нет, а значит, сила тяжести консервативна.
Также просто можно доказать, что консервативными являются силы, создающие однородное поле. Поле сил называется однородным, если в любой точке этого поля сила, действующая на тело одинакова по величине и направлению.
Консервативными являются также поля центральных сил. Центральными называются силы, направленные вдоль линии взаимодействия тел, величина которых зависит только от расстояния между телами. Такому условию удовлетворяют, например, кулоновские силы и силы тяготения.
В поле консервативных сил можно ввести еще один вид механической энергии - потенциальную энергию. Прежде чем ее вводить, выбирают точку, в которой она равна нулю. Потенциальная энергия тела в любой точке пространства определяется работой, которую нужно совершить, чтобы переместить тело из этой точки в точку с нулевой потенциальной энергией.
Отметим два существенных момента, вытекающих из этого определения. Во-первых, поскольку рассматривается поле консервативных сил, значение потенциальной энергии тела зависит от положения тела и выбора точки нулевой потенциальной энергии и не зависит от формы пути, по которому тело перемещается. Во-вторых, поскольку выбор нуля потенциальной энергии произволен, значение потенциальной энергии определяется с точностью до аддитивной постоянной, следовательно физический смысл имеет лишь разность потенциальных энергий или приращение потенциальной энергии, но не сама энергия.
На рис.11.3 мы представили три точки в пространстве поля консервативных сил: точку (b), точку (с) и точку (о), потенциальную энергию в которой будем считать равной 0. Обозначим через Abo работу, которая совершается при переносе тела из точки (b) в точку (o). Если перемещать тело из точки (o) в точку (b), то совершаемая при этом работа будет равна Aob=-Abo, поскольку меняется направление движения, но не меняются действующие на тело силы. Работу по перемещению тела из точки (c) в точку (o) будем обозначать, как Асo. Точно также Асо=-Аос. При перемещении тела из точки (b) в точку (c) совершается работа Abc=-Acb. Согласно определению потенциальной энергии и формуле (11.3) для вычисления работы имеем:
b Eпот(b)
Abo
Перейти на страницу: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21